Corrigé de l'exercice 11, page 71 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Développement d’un produit avec la distributivité

Pour développer un produit du type \((x + a)(x + b)\), on peut utiliser la distributivité :

\[ (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b) \] \[ = x^2 + bx + ax + ab \]

On regroupe ensuite les termes qui se ressemblent (ici, les termes en \(x\)) :

\[ x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)x + ab \]

Cela permet de passer d’une forme « produit » à une forme « somme » (un polynôme).

B) Identité remarquable \((a + b)(a - b)\)

Une identité remarquable importante est :

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

On l’obtient en développant :

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 \] \[ = a^2 - b^2 \]

Les termes \(-ab\) et \(+ab\) se simplifient car ils sont opposés.

Dans un exercice, il faut donc repérer si l’expression a la forme \((\text{quelque chose} + \text{un nombre})(\text{la même chose} - \text{le même nombre})\) pour pouvoir appliquer directement cette formule.

C) Carré d’un nombre et carré d’un produit

Le carré d’un nombre, c’est ce nombre multiplié par lui-même :

\[ a^2 = a \times a \]

Le carré d’un produit se calcule en élevant chaque facteur au carré :

\[ (ka)^2 = k^2a^2 \]

Par exemple :

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Il faut aussi se rappeler que le carré d’un nombre est toujours positif :

\[ (-5)^2 = 25 \]

D) Reconnaître rapidement la structure d’une expression

Pour utiliser une identité remarquable, il est important de savoir reconnaître la forme :

• \((x + a)(x - a)\) : même lettre, même nombre, un signe « + » et un signe « - ».
• \((2x - 5)(2x + 5)\) : même partie en \(x\) (ici \(2x\)), même nombre (ici 5), avec des signes contraires.

Dès que l’on repère cette structure, on peut appliquer directement :

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

sans refaire tout le développement, ce qui fait gagner du temps et limite les erreurs de calcul.