Corrigé de l'exercice 79, page 138 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un tableau qui relie le temps et la distance, chaque colonne correspond à un instant donné et à la distance parcourue à ce moment-là. Lire le tableau consiste à repérer le temps sur la première ligne et lire, juste en dessous, la distance associée. Par exemple, si pour 0,4 h on lit 12 km, cela signifie qu’au bout de 24 minutes (0,4 h), le cycliste a parcouru 12 km.

B) La distance parcourue pendant un intervalle de temps se calcule par une soustraction : on enlève la distance du début de l’intervalle à celle de la fin. Si un coureur passe de 48 km à 66 km entre deux relevés, la distance parcourue est donnée par : \[ \begin{aligned} 66 - 48 &= 18 \text{ km} \end{aligned} \] Il a donc parcouru 18 km pendant cet intervalle.

C) La vitesse moyenne sur un intervalle est le quotient de la distance parcourue par le temps mis pour la parcourir. La formule est : \[ \text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} \] Par exemple, si un cycliste parcourt 22 km en 0,5 h : \[ \begin{aligned} v &= \frac{22}{0{,}5} \\ &= 44 \text{ km/h} \end{aligned} \] Sa vitesse moyenne est donc de 44 km/h.

D) Lorsqu’on admet que la vitesse est constante entre deux relevés, la distance varie de façon proportionnelle au temps sur cet intervalle. On peut alors utiliser une expression de la forme : \[ d(t) = v \times (t - t_0) + d_0 \] où \(t_0\) est le début de l’intervalle et \(d_0\) la distance à ce moment-là. Par exemple, si à 3 h la distance est de 90 km et que la vitesse est 36 km/h, alors pour 3,4 h : \[ \begin{aligned} d(3{,}4) &= 36(3{,}4 - 3) + 90 \\ &= 36 \times 0{,}4 + 90 \\ &= 14{,}4 + 90 \\ &= 104{,}4 \text{ km} \end{aligned} \]

E) Pour trouver le temps nécessaire pour parcourir une certaine distance, on peut résoudre une équation du type \(d(t) = \text{valeur cherchée}\). Par exemple, si la distance est donnée par \(d(t) = 30(t - 1) + 60\) et que l’on cherche quand la distance vaut 75 km : \[ \begin{aligned} 30(t - 1) + 60 &= 75 \\ 30(t - 1) &= 15 \\ t - 1 &= \frac{15}{30} \\ t - 1 &= 0{,}5 \\ t &= 1{,}5 \text{ h} \end{aligned} \] Il faut donc 1 h 30 min pour atteindre cette distance.

F) Une fonction est dite linéaire s’il existe un nombre \(a\) tel que, pour tout \(x\), on ait \(f(x) = a \times x\). Graphiquement, sa courbe est une droite qui passe par l’origine (0 ; 0). Cela signifie aussi que le quotient \(\dfrac{f(x)}{x}\) reste constant lorsque \(x\) change. Si ce quotient varie, alors la fonction n’est pas linéaire.