Corrigé de l'exercice 7, page 61 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Une fraction représente un partage ou un quotient entre deux nombres. Dans une fraction \(\dfrac{a}{b}\), le nombre \(a\) est appelé numérateur et le nombre \(b\) est appelé dénominateur. Le dénominateur ne peut jamais être nul.

B) Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1. Autrement dit, on ne peut plus la simplifier.

C) Pour rendre une fraction irréductible, on cherche le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur, puis on divise ces deux nombres par ce PGCD.

Par exemple :

\[\begin{aligned}\dfrac{42}{56} &= \dfrac{42 \div 14}{56 \div 14}\end{aligned}\] \[\Rightarrow \dfrac{3}{4}\]

D) Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut :

• soit décomposer chaque nombre en facteurs premiers et repérer les facteurs communs ;
• soit utiliser la méthode des divisions successives (algorithme d’Euclide).

E) Lorsqu’on décompose un nombre en facteurs premiers, on l’écrit comme un produit de nombres premiers.

Par exemple :

\[\begin{aligned}180 &= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \\\Rightarrow 180 &= 2^2 \times 3^2 \times 5\end{aligned}\]

et

\[\begin{aligned}154 &= 2 \times 7 \times 11\end{aligned}\]

Ces décompositions permettent d’identifier rapidement les facteurs communs pour calculer le PGCD.