Corrigé de l'exercice 3, page 103 - Myriade 4e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Comprendre ce qu’est factoriser une expression

Factoriser une expression, c’est la réécrire sous la forme d’un produit. Par exemple, si l’on observe deux termes comme \(4y^2\) et \(6y\), on cherche ce qu’ils ont en commun. Ici, ils possèdent chacun un facteur \(2y\).

\[\begin{aligned} 4y^2 + 6y &= 2y \times 2y + 2y \times 3 \\ &= 2y(2y+3) \end{aligned}\]

On est passé d’une somme à un produit.

B) Repérer un facteur commun

Pour factoriser une expression, il faut repérer ce que les différents termes ont en commun : un nombre, une lettre, ou les deux. Par exemple, pour factoriser \(9z - 12z^2\), on peut remarquer que les deux termes ont au moins un facteur \(3z\).

\[\begin{aligned} 9z - 12z^2 &= 3z \times 3 - 3z \times 4z \\ &= 3z(3 - 4z) \end{aligned}\]

On a sorti le facteur commun \(3z\).

C) Comprendre la relation entre produit et aire

Dans certains exercices, les expressions sont représentées par l’aire de rectangles. L’aire d’un rectangle se calcule avec :

\[ \text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]

Si un rectangle a pour hauteur \(k\) et pour aire \(14k\), alors sa base vaut \(14\). De même, si l’aire vaut \(5k^2\), la base est \(5k\).

Cette idée permet de retrouver quelle multiplication a été transformée en somme.

D) Développer ou réduire une expression

Factoriser est l’opération inverse du développement. Développer, c’est distribuer la multiplication :

\[\begin{aligned} 3(t+7) &= 3\times t + 3\times 7 \\ &= 3t + 21 \end{aligned}\]

Factoriser revient simplement à effectuer cette opération dans l’autre sens.

E) Reconnaître plusieurs factorisations possibles

Une même expression peut parfois être écrite de plusieurs façons. Par exemple, \(12w + 18w^2\) peut se factoriser en fonction de plusieurs facteurs communs :

• En sortant \(6w\) : \(12w + 18w^2 = 6w(2 + 3w)\)
• En sortant seulement \(3w\) : \(12w + 18w^2 = 3w(4 + 6w)\)
• En sortant \(w\) : \(12w + 18w^2 = w(12 + 18w)\)

Ces écritures sont toutes correctes : elles expriment la même somme sous la forme d’un produit.