Corrigé de l'exercice 68, page 191 - 2de Maths

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un vecteur : direction, sens et norme

Un vecteur représente une action ou un déplacement. Il possède :

• une direction (la droite ou l’axe sur lequel il est placé),
• un sens (vers quelle extrémité du trait il pointe),
• une norme (sa longueur, exprimée en unités ou en centimètres sur une figure).

Sur un schéma, si 1 U est représenté par 4 cm, alors un vecteur de norme 3 U mesure 12 cm.

B) Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs se construit en plaçant l’origine du second à l’extrémité du premier. Le vecteur somme relie alors l’origine du premier à l’extrémité du second.

C’est ce qu’on appelle la méthode du « bout à bout ».

C) Norme de la somme de deux vecteurs

Lorsque deux vecteurs forment un angle connu, on peut calculer la norme de leur somme grâce à la loi des cosinus :

\[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\theta)\]

Par exemple, si deux vecteurs ont pour normes 3 U et 2 U et forment un angle de \(120^\circ\), alors :

\[\begin{aligned} \|\vec{s}\|^2 &= 3^2 + 2^2 + 2\times 3 \times 2 \cos(120^\circ) \\ &= 9 + 4 + 12 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 13 - 6 \\ &= 7 \end{aligned}\]

La norme vaut donc \(\sqrt{7}\).

D) Situation d’équilibre

Un objet est en équilibre lorsque la somme des forces qui s’exercent sur lui est égale au vecteur nul. Cela signifie que les forces se compensent exactement.

Par exemple, si deux forces opposées ont la même norme, leur somme est le vecteur nul : l’objet ne bouge pas.