Corrigé de l'exercice 4, page 243 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un angle aigu est un angle dont la mesure est strictement comprise entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\). On peut écrire : \(0^\circ < a < 90^\circ\). Les valeurs des fonctions trigonométriques \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) sont étudiées uniquement pour ce type d’angle dans un triangle rectangle.

B) Dans un triangle rectangle, on repère toujours l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit et c’est le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés sont appelés le côté opposé et le côté adjacent, en fonction de l’angle aigu choisi.

C) Les définitions des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle sont essentielles. Pour un angle aigu \(\alpha\) :

• \(\small \cos \alpha = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}\),
• \(\small \sin \alpha = \dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}\),
• \(\small \tan \alpha = \dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}\).

Ces rapports sont indépendants de la taille du triangle : ils ne dépendent que de l’angle.

D) Comme l’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle, les longueurs des côtés opposé et adjacent sont toujours strictement plus petites que celle de l’hypoténuse. En divisant par l’hypoténuse (qui est positive), on obtient des rapports compris entre 0 et 1. Cela explique pourquoi, pour un angle aigu, \(0 < \sin \alpha < 1\) et \(0 < \cos \alpha < 1\).

E) La tangente d’un angle aigu est définie comme le quotient du sinus par le cosinus :

\[\begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \end{aligned}\]

Comme \(\sin \alpha\) et \(\cos \alpha\) sont tous les deux positifs pour un angle aigu, la tangente est également positive. En revanche, si le cosinus devient très petit, le quotient peut devenir très grand : la tangente n’est donc pas majorée.

F) À la calculatrice, il est indispensable de vérifier que le mode « degrés » est activé pour calculer \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) d’un angle exprimé en degrés. Par exemple, pour un angle de \(28^\circ\), on peut obtenir des valeurs décimales qu’il faut parfois arrondir au millième selon la précision demandée.