Corrigé de l'exercice 4, page 282 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Fractions et opérations sur les fractions
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible. Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.
Exemple :

\[\begin{aligned} \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} &= \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} \\ &= \dfrac{19}{12} \end{aligned}\]

B) Prendre une fraction d’un nombre
Prendre une fraction d’un nombre revient à multiplier ce nombre par la fraction.
Par exemple, prendre les \(\dfrac{2}{5}\) de 30 revient à calculer :

\[\begin{aligned} \dfrac{2}{5}\times 30 &= 2\times 6 \\ &= 12 \end{aligned}\]

C) Puissances et exposant \(-1\)
Une puissance d’exposant \(-1\) correspond à l’inverse du nombre. Ainsi, pour tout nombre non nul \(a\), on a \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\).
Exemple :

\[\begin{aligned} 4^{-1} &= \dfrac{1}{4} \end{aligned}\]

D) Calcul d’aire d’un triangle
L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. La formule est : \(\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}\).
Exemple avec une base de \(\dfrac{5}{2}\ \text{m}\) et une hauteur de \(\dfrac{4}{7}\ \text{m}\) :

\[\begin{aligned} \mathcal{A} &= \dfrac{\dfrac{5}{2}\times \dfrac{4}{7}}{2} \\ &= \dfrac{\dfrac{20}{14}}{2} \\ &= \dfrac{10}{14} \end{aligned}\]

E) Traduction d’un programme de calcul
Un programme de calcul peut être traduit par une expression littérale. On remplace le nombre choisi par une lettre, puis on suit les étapes indiquées.
Exemple : si on choisit un nombre \(x\), qu’on calcule son carré puis qu’on ajoute le double du nombre, on obtient l’expression \(x^2+2x\).

F) Volumes et conversions de capacités
Le volume d’un cube est égal au cube de la longueur de son arête. Si l’arête est en centimètres, le volume est en \(\text{cm}^3\). On utilise la conversion \(1\ \text{cL} = 10\ \text{cm}^3\).
Exemple avec une arête de \(4\ \text{cm}\) :

\[\begin{aligned} V &= 4^3 \\ &= 64\ \text{cm}^3 \end{aligned}\]

G) Résolution d’une équation du premier degré
Pour résoudre une équation, on transforme l’égalité pour isoler l’inconnue, en effectuant les mêmes opérations de chaque côté.
Exemple :

\[\begin{aligned} 5x - 9 &= 6 \\ 5x &= 15 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

H) Calculs avec des parenthèses
Lorsqu’une expression contient des parenthèses, on commence par calculer ce qui est à l’intérieur avant d’effectuer la multiplication.
Exemple :

\[\begin{aligned} 6\times\left(3-\dfrac{1}{2}\right) &= 6\times \dfrac{5}{2} \\ &= 15 \end{aligned}\]

I) Inverse d’un nombre
L’inverse d’un nombre non nul est le nombre qui, multiplié par lui, donne 1. L’inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\).
Exemple :

\[\begin{aligned} \text{Inverse de } \dfrac{7}{3} &= \dfrac{3}{7} \end{aligned}\]

J) Partage selon un ratio
Un ratio indique une répartition proportionnelle. On additionne les nombres du ratio pour connaître le nombre total de parts, puis on calcule la valeur d’une part.
Exemple : un ratio \(3:4\) correspond à \(3+4=7\) parts. Si le total est 84, une part vaut \(84\div 7=12\).

K) Écriture scientifique
Un nombre est écrit en écriture scientifique sous la forme \(a\times 10^n\), avec \(1\leq a < 10\) et \(n\) entier relatif. Pour cela, on déplace la virgule et on ajuste la puissance de 10.
Exemple :

\[\begin{aligned} 4\,500\,000 &= 4{,}5\times 10^6 \end{aligned}\]