Corrigé de l'exercice 38, page 101 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Notion de probabilité

La probabilité d’un événement, c’est le nombre qui mesure la « chance » que cet événement se produise. Lorsqu’on a une situation simple où tous les cas sont équiprobables (même chance), la probabilité d’un événement se calcule ainsi :

\[\begin{aligned}&P(\text{événement}) \\&= \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\end{aligned}\]

Exemple : on a 220 tickets numérotés et 44 sont gagnants. La probabilité de tirer un ticket gagnant est :

\[\begin{aligned}P(\text{gagner}) &= \dfrac{44}{220} \\&= \dfrac{4}{20} \\&= \dfrac{1}{5} \\&= 0{,}2 \\&= 20\ \%\end{aligned}\]

On peut donc exprimer une probabilité sous forme de fraction, d’écriture décimale ou de pourcentage.

B) Simplifier une fraction

Simplifier une fraction consiste à la remplacer par une fraction équivalente avec des nombres plus petits au numérateur et au dénominateur. On divise alors ces deux nombres par un même nombre non nul.

Par exemple :

\[\begin{aligned}\dfrac{36}{252} &= \dfrac{36 \div 12}{252 \div 12} \\&= \dfrac{3}{21} \\&= \dfrac{3 \div 3}{21 \div 3} \\&= \dfrac{1}{7}\end{aligned}\]

On obtient une fraction plus simple, ici \(\dfrac{1}{7}\).

C) Fréquence d’apparition

La fréquence d’un événement dans une expérience est le quotient :

\[\small \begin{aligned}&f \\&= \dfrac{\text{nb de fois où l’événement se produit}}{\text{nb total d’expériences}}\end{aligned}\]

Exemple : on répète 150 fois un jeu de hasard, et on gagne 18 fois. La fréquence de gain est :

\[\begin{aligned}f &= \dfrac{18}{150} \\&= 0{,}12 \\&= 12\ \%\end{aligned}\]

La fréquence peut elle aussi s’exprimer sous forme de fraction, d’écriture décimale ou de pourcentage.

D) Lien entre fréquence et probabilité

Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire (par exemple grâce à un programme informatique), la fréquence observée d’un événement se rapproche de plus en plus de la probabilité théorique de cet événement.

En pratique :

• Pour un petit nombre d’essais, la fréquence peut être assez éloignée de la probabilité.
• Quand on augmente le nombre d’essais, la fréquence se stabilise et devient proche de la probabilité.

Exemple : si la probabilité théorique de gagner un jeu est \(0{,}15\), on peut observer :

• sur 50 parties, une fréquence de 0,20 ;
• sur 500 parties, une fréquence de 0,16 ;
• sur 5 000 parties, une fréquence de 0,149.

On voit que plus le nombre de parties augmente, plus la fréquence se rapproche de 0,15.

E) Comparer une fréquence à une probabilité

Pour comparer une fréquence observée à une probabilité théorique, on peut :

• les écrire toutes les deux sous forme décimale ou en pourcentage ;
• regarder si elles sont proches l’une de l’autre (par exemple 0,118 et 0,12 sont très proches).

Si la fréquence est assez proche de la probabilité et que le nombre d’essais est grand, on peut dire que l’expérience confirme la modélisation probabiliste.