Corrigé de l'exercice 39, page 101 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance. Par exemple, lancer un dé ou faire tourner une roue de loterie sont des expériences aléatoires, car le résultat dépend du hasard.

B) Une issue est un résultat possible de l’expérience. Par exemple, si on lance un dé, les issues possibles sont : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si on fait tourner une roue divisée en 6 couleurs, les issues peuvent être : rouge, bleu, vert, jaune, orange, violet.

C) La probabilité d’un événement est le rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues possibles, quand toutes les issues sont équiprobables (c’est-à-dire ont la même chance de se produire). On calcule donc :

\[\text{Probabilité} = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}\]

Exemple : si un disque est divisé en 8 secteurs identiques dont 2 sont rouges, alors la probabilité d’obtenir rouge est :

\[\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\]

D) Lorsqu’on répète une expérience aléatoire plusieurs fois de manière indépendante (comme deux tours de roue), on peut calculer la probabilité d’obtenir plusieurs événements successifs en multipliant leurs probabilités :

\[\mathbb{P}(\text{événement A puis événement B}) = \mathbb{P}(\text{A}) \times \mathbb{P}(\text{B})\]

Exemple : si la probabilité de gagner à un jeu est \(\dfrac{1}{6}\), alors la probabilité de gagner deux fois de suite est :

\[\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}\]

E) L’événement contraire d’un événement correspond à la situation où cet événement ne se produit pas. Par exemple, si « A » est l’événement « obtenir rouge », alors l’événement contraire « non A » est « ne pas obtenir rouge ».

Les deux probabilités sont liées par la formule :

\[\mathbb{P}(\text{A}) + \mathbb{P}(\text{non A}) = 1\]

Exemple : si la probabilité d’obtenir rouge est \(\dfrac{1}{4}\), alors la probabilité de ne pas obtenir rouge est :

\[1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\]

F) Pour trouver la probabilité de l’événement « au moins une fois », on utilise souvent l’événement contraire « aucune fois ». En effet :

\[\mathbb{P}(\text{au moins une fois}) = 1 - \mathbb{P}(\text{aucune fois})\]

Exemple : si la probabilité de réussir un tir est \(\dfrac{1}{3}\), alors la probabilité d’échouer est \(\dfrac{2}{3}\). La probabilité d’échouer deux fois de suite est :

\[\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\]

Donc la probabilité de réussir au moins une fois est :

\[1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\]

G) Dans un tableur, la fonction ALEA() permet de générer un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Chaque fois que la feuille est recalculée, une nouvelle valeur est tirée au hasard. On peut utiliser une formule du type SI(ALEA()<0,3;"G";"P") pour simuler un événement qui a 30 % de chances de se produire (ici, “G” pour gagner et “P” pour perdre).