Corrigé de l'exercice 61, page 203 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Longueur d’un cercle et d’un arc de cercle La longueur d’un cercle de rayon \(R\) est donnée par la formule \(2\pi R\). La longueur d’un demi-cercle est donc \(\pi R\). Pour un arc correspondant à un angle \(\theta\) (en degrés), la longueur est proportionnelle à cet angle : \[ \text{arc} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi R. \] Par exemple, pour un cercle de rayon 18 cm et un arc de \(40^\circ\) :

\[\begin{aligned} \text{arc} &= \frac{40}{360} \times 2\pi \times 18 \\ &= \frac{1}{9} \times 36\pi \\ &= 4\pi \approx 12{,}56 \end{aligned}\]

B) Proportionnalité Lorsque deux grandeurs évoluent dans les mêmes proportions, on peut utiliser un tableau de proportionnalité ou une règle de trois. Si un arc de \(180^\circ\) mesure \(L\), alors un arc de \(\theta^\circ\) mesure \(\frac{\theta}{180} \times L\). Par exemple, si \(180^\circ\) correspondent à 45 cm, alors \(30^\circ\) correspondent à :

\[\begin{aligned} \text{longueur} &= \frac{30}{180} \times 45 \\ &= \frac{1}{6} \times 45 \\ &= 7{,}5\ \text{cm} \end{aligned}\]

C) Latitudes et longitudes La latitude indique la position nord ou sud par rapport à l’équateur, de \(0^\circ\) à \(90^\circ\). La longitude indique la position est ou ouest par rapport au méridien de Greenwich, de \(0^\circ\) à \(180^\circ\). Sur un globe, les arcs de méridiens correspondent aux variations de latitude, et les arcs de l’équateur correspondent aux variations de longitude.

D) Utiliser \(\pi\) et arrondir les résultats Pour les calculs numériques, on peut remplacer \(\pi\) par une valeur approchée comme \(3{,}14\), puis arrondir le résultat final au centième près si nécessaire. Par exemple :

\[\begin{aligned} 12\pi &\approx 12 \times 3{,}14 \\ &\approx 37{,}68 \end{aligned}\]

E) Somme de longueurs pour un trajet composé Si un trajet est constitué de plusieurs segments successifs, la longueur totale est obtenue en additionnant les longueurs de chaque partie. Par exemple, si un trajet comprend trois portions respectives de 8,2 cm, 14,5 cm et 5,9 cm, alors :

\[\begin{aligned} \text{total} &= 8{,}2 + 14{,}5 + 5{,}9 \\ &= 28{,}6\ \text{cm} \end{aligned}\]