Corrigé de l'exercice 13, page 252 - Mission Indigo 4e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Droites parallèles et droites sécantes
Deux droites sont dites parallèles lorsqu’elles ne se coupent jamais. Deux droites sont sécantes lorsqu’elles se coupent en un point unique. Dans une figure, repérer quelles droites sont parallèles et quelles droites sont sécantes permet d’identifier des triangles particuliers et d’utiliser des propriétés de proportionnalité.

B) Triangles ayant un sommet commun
Lorsque deux triangles partagent un sommet et que leurs côtés sont portés par les mêmes droites, on peut comparer leurs longueurs. Par exemple, si \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés et que \(D\) est un autre point, les segments \(AB\) et \(AC\) sont sur la même droite, ce qui permet de comparer les triangles \(ABD\) et \(ACD\).

C) Théorème de Thalès
Si deux droites sont parallèles et coupent deux droites sécantes en un même point, alors les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Par exemple, si \((EF)\parallel(GH)\) et si les droites se coupent en \(A\), alors on a :

\[\begin{aligned} \frac{AE}{AG} &= \frac{AF}{AH} \\ &= \frac{EF}{GH} \end{aligned}\]

Cette égalité permet de comparer des longueurs sans les mesurer directement.

D) Rapports de longueurs et inverses
Lorsque deux fractions sont égales, leurs inverses sont aussi égales. Par exemple, si :

\[\frac{4}{9}=\frac{6}{13{,}5}\]

alors :

\[\frac{9}{4}=\frac{13{,}5}{6}\]

Cette propriété est souvent utilisée pour vérifier ou transformer des égalités de rapports.

E) Différence entre un segment et une partie de segment
Un segment entier ne doit pas être confondu avec une partie de ce segment. Par exemple, si \(AB = 10\) cm et \(AC = 4\) cm avec \(C\) situé entre \(A\) et \(B\), alors \(CB = 6\) cm. Les rapports \(\dfrac{AC}{AB}\) et \(\dfrac{AC}{CB}\) sont différents :

\[\begin{aligned} \frac{AC}{AB} &= \frac{4}{10} \\ &= 0{,}4 \end{aligned}\]

alors que \(\dfrac{AC}{CB} = \dfrac{4}{6}\). Il est donc important d’identifier précisément quels segments sont comparés.