Corrigé de l'exercice 1, page 41 - Les cahiers Sésamath 5e (2024)

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Priorités de calcul : on effectue d’abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Les parenthèses priment sur tout.
Exemple :

\[\begin{aligned}7 + 3 \times 12 &= 7 + 36 \\ &= 43\end{aligned}\]

B) Commutativité et associativité (addition et multiplication) : on peut changer l’ordre et regrouper autrement pour faciliter les calculs.
Exemples :

\[\begin{aligned}28 + 45 + 72 &= 28 + 72 \\ &= 100 + 45 \\ &= 145\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}5 \times 6 \times 4 &= 5 \times (6 \times 4) \\ &= 5 \times 24 \\ &= 120\end{aligned}\]

C) Distributivité simple : \(a \times b + a \times c = a \times (b + c)\) et \(a \times b - a \times c = a \times (b - c)\). Exemples :

\[ \small\begin{aligned} 95 \times 24 - 15 \times 24 &= (95 - 15) \times 24 \\&= 80 \times 24 \\&= 1\,920 \end{aligned}\]

\[ \small\begin{aligned} 68 \times 37 + 37 \times 32 &= (68 + 32) \times 37 \\&= 100 \times 37 \\&= 3\,700 \end{aligned}\]

D) Mise en facteur (factorisation) : lorsqu’un même facteur apparaît dans plusieurs termes, on le “sort” pour simplifier.
Exemple :

\[\begin{aligned}&13 \times 3{,}89 + 3{,}89 \times 27 - 3{,}89 \times 10 \\&= (13 + 27 - 10) \times 3{,}89 \\ &= 30 \times 3{,}89 \\ &= 116{,}7\end{aligned}\]

E) Astuces de calcul mental utiles :

• Multiplier par \(0{,}5\), c’est diviser par \(2\). Exemple :

\[\begin{aligned}18 \times 0{,}5 &= \dfrac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}\]

• Multiplier par \(100\) ajoute deux zéros (ou décale la virgule de deux rangs).
Exemple :

\[23{,}4 \times 100 = 2\,340\]

• Chercher des “compléments à 100” pour simplifier. Exemple :

\[\small\begin{aligned}64 \times 41 + 41 \times 36 &= (64 + 36) \times 41 \\ &= 100 \times 41 \\ &= 4\,100\end{aligned}\]

F) Gestion des signes avec la distributivité : si on factorise un terme négatif, on fait attention au signe dans la parenthèse. Exemple :

\[\small\begin{aligned}52 \times 19 - 19 \times 47 &= (52 - 47) \times 19 \\ &= 5 \times 19 \\ &= 95\end{aligned}\]

G) Vérification rapide du résultat : un ordre de grandeur permet de repérer une erreur. Exemple (arrondi pour estimer) :

\[\begin{aligned}98 \times 23 &\approx 100 \times 23 \\ &\approx 2\,300\end{aligned}\]

Si le résultat exact trouvé est très loin de cette valeur, il faut recontrôler les étapes.