Corrigé de l'exercice 48, page 95 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Lorsqu’un produit est nul

Pour résoudre une équation du type \((a \times b) = 0\), on utilise la règle du produit nul :

Si un produit de deux facteurs est nul, alors au moins un des deux facteurs est nul.

Autrement dit :

\[\begin{aligned}a \times b &= 0 \Rightarrow a = 0 \text{ ou } b = 0\end{aligned}\]

Exemple : si \((x - 3)(x + 4) = 0\), alors

\[\begin{aligned}x - 3 &= 0 \Rightarrow x = 3\end{aligned}\]

ou

\[\begin{aligned}x + 4 &= 0 \Rightarrow x = -4\end{aligned}\]

Les solutions sont donc \(x = 3\) et \(x = -4\).

B) Résolution d’une équation simple du premier degré

Une équation du premier degré contient une seule inconnue \(x\), et cette inconnue n’apparaît qu’à la puissance 1.

Pour résoudre une équation du type \(a x + b = 0\), on isole \(x\).

\[\begin{aligned}a x + b &= 0 \\ &\Rightarrow a x = -b \\ &\Rightarrow x = \dfrac{-b}{a}\end{aligned}\]

Exemple : pour \(5x - 2 = 0\), on a

\[\begin{aligned}5x &= 2 \\ &\Rightarrow x = \dfrac{2}{5}\end{aligned}\]

C) Vérification des solutions

Une fois les valeurs de \(x\) trouvées, on peut vérifier qu’elles conviennent en les remplaçant dans l’équation de départ.

Exemple : pour l’équation \((x - 3)(x + 4) = 0\), on vérifie la première solution :

Si \(x = 3\) :

\[\begin{aligned}(3 - 3)(3 + 4) &= 0 \times 7 \\ &= 0\end{aligned}\]

La première solution est correcte.

Si \(x = -4\) :

\[\begin{aligned}(-4 - 3)(-4 + 4) &= (-7) \times 0 \\ &= 0\end{aligned}\]

La seconde solution est correcte également.

D) Écriture et présentation des résultats

Quand une équation admet plusieurs solutions, on les écrit généralement sous forme d’ensemble :

\[\small \begin{aligned}S &= \{ \text{valeurs de } x \text{ qui vérifient}\\&\text{ l’équation} \}\end{aligned}\]

Exemple : si on a trouvé \(x = 3\) et \(x = -4\), alors :

\[\begin{aligned}S &= \{3 ; -4\}\end{aligned}\]