Corrigé de l'exercice 52, page 95 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Lorsqu’une équation contient un carré, comme dans \(x^2 - 64 = 0\), on peut parfois reconnaître une différence de deux carrés. La formule à connaître est :

\[\begin{aligned}a^2 - b^2 &= (a - b)(a + b)\end{aligned}\]

Par exemple :

\[\begin{aligned}x^2 - 64 &= 0 \\x^2 - 8^2 &= 0 \\(x - 8)(x + 8) &= 0\end{aligned}\]

B) Pour résoudre une équation factorisée du type \((a)(b) = 0\), on utilise la règle du produit nul :

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

Autrement dit :

\[\begin{aligned}(a)(b) &= 0 \\\text{si et seulement si } a &= 0 \text{ ou } b = 0\end{aligned}\]

Par exemple :

\[\small \begin{aligned}(x - 8)(x + 8) &= 0 \\x - 8 &= 0 \quad \text{ou} \quad x + 8 = 0 \\x &= 8 \quad \text{ou} \quad x = -8\end{aligned}\]

C) Lorsqu’on obtient les deux valeurs possibles de \(x\), il est toujours utile de vérifier qu’elles satisfont bien l’équation de départ. On peut le faire en remplaçant \(x\) par chacune des valeurs trouvées dans l’expression initiale pour vérifier que le résultat est bien nul.

Par exemple, pour l’équation \[x^2 - 64 = 0\] :

\[\begin{aligned}8^2 - 64 &= 0 \\64 - 64 &= 0 \\0 &= 0\end{aligned}\]

et

\[\begin{aligned}(-8)^2 - 64 &= 0 \\64 - 64 &= 0 \\0 &= 0\end{aligned}\]

Les deux valeurs conviennent donc bien.