Corrigé de l'exercice 49, page 95 - Mission Indigo 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Lorsqu’un produit est nul

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Autrement dit, si \[a \times b = 0\], alors on a soit \[a = 0\], soit \[b = 0\] (ou les deux).

Exemple : \[(x - 2)(x + 5) = 0\]

Ce produit sera nul si :

• \[x - 2 = 0\] donc \[x = 2\]
• ou bien \[x + 5 = 0\] donc \[x = -5\]

Les solutions sont donc \(x = 2\) ou \(x = -5\).

B) Résoudre une équation du type \((ax + b)^2 = 0\)

Le carré d’un nombre est toujours positif, et il est nul seulement si ce nombre lui-même est nul. Ainsi, si \[(ax + b)^2 = 0\], alors cela revient à résoudre simplement \[ax + b = 0\].

Exemple : \[(3x - 4)^2 = 0\]

On a :

\[3x - 4 = 0\] \[3x = 4\] \[x = \dfrac{4}{3}\]

La seule solution est \(x = \dfrac{4}{3}\).

C) Manipuler les parenthèses et les facteurs

Quand on résout une équation où plusieurs facteurs sont multipliés, il est inutile de développer : on peut directement appliquer la propriété du produit nul.

Exemple : \[-3x(2x - 7) = 0\]

Ce pro

A) Lorsqu’un produit est nul

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Autrement dit, si \[\begin{aligned}a \times b &= 0 \\a &= 0 \\b &= 0\end{aligned}\], alors on a soit \[a = 0\], soit \[b = 0\] (ou les deux).

Exemple : \[\begin{aligned}(x - 2)(x + 5) &= 0 \\x - 2 &= 0 \\ &= 2 \\x + 5 &= 0 \\ &= -5\end{aligned}\]

Ce produit sera nul si :

• \[\begin{aligned}x - 2 &= 0 \\ &= 2\end{aligned}\]
• \[\begin{aligned}x + 5 &= 0 \\ &= -5\end{aligned}\]

Les solutions sont donc \(\boldsymbol{x = 2}\) ou \(\boldsymbol{x = -5}\).

B) Résoudre une équation du type \((ax + b)^2 = 0\)

Le carré d’un nombre est toujours positif, et il est nul seulement si ce nombre lui-même est nul. Ainsi, si \[\begin{aligned}(ax + b)^2 &= 0 \\ax + b &= 0\end{aligned}\], alors cela revient à résoudre simplement \[ax + b = 0\].

Exemple : \[\begin{aligned}(3x - 4)^2 &= 0 \\3x - 4 &= 0 \\3x &= 4 \\x &= \dfrac{4}{3}\end{aligned}\]

On a :

\[\begin{aligned}3x - 4 &= 0 \\3x &= 4 \\x &= \dfrac{4}{3}\end{aligned}\]

La seule solution est \(\boldsymbol{x = \dfrac{4}{3}}\).

C) Manipuler les parenthèses et les facteurs

Quand on résout une équation où plusieurs facteurs sont multipliés, il est inutile de développer : on peut directement appliquer la propriété du produit nul.

Exemple : \[\begin{aligned}-3x(2x - 7) &= 0 \\-3x &= 0 \\ &= 0 \\2x - 7 &= 0 \\2x &= 7 \\x &= \dfrac{7}{2}\end{aligned}\]

Ce produit est nul si :

• \[\begin{aligned}-3x &= 0 \\x &= 0\end{aligned}\]
• \[\begin{aligned}2x - 7 &= 0 \\2x &= 7 \\x &= \dfrac{7}{2}\end{aligned}\]

Les solutions sont donc \(\boldsymbol{x = 0}\) ou \(\boldsymbol{x = \dfrac{7}{2}}\).

• \[-3x = 0\] donc \[x = 0\]
• ou bien \[2x - 7 = 0\] donc \[x = \dfrac{7}{2}\]

Les solutions sont donc \(x = 0\) ou \(x = \dfrac{7}{2}\).