Corrigé de l'exercice 1, page 213 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Quand deux droites se coupent en un point, ce point appartient aux deux droites.

Par exemple, si les droites \((RS)\) et \((TU)\) se coupent en \(M\), alors les points \(R\), \(M\), \(S\) sont alignés, et les points \(T\), \(M\), \(U\) sont aussi alignés.

Dans une figure, cela permet de repérer des triangles formés par des droites qui se croisent.

B) Des droites parallèles gardent toujours le même écart et ne se coupent jamais.

Quand deux droites sont parallèles et qu’elles sont coupées par deux droites sécantes, on peut utiliser le théorème de Thalès.

Il faut d’abord vérifier la configuration : deux droites parallèles coupées par deux droites qui se rencontrent en un même point.

C) Théorème de Thalès : dans cette configuration, les longueurs correspondantes sont proportionnelles.

Si \(M\), \(P\), \(A\) sont alignés dans cet ordre, si \(M\), \(Q\), \(B\) sont alignés dans cet ordre, et si \((PQ)\) et \((AB)\) sont parallèles, alors :

\[ \frac{MP}{MA}=\frac{MQ}{MB}=\frac{PQ}{AB} \]

On compare donc toujours des segments placés dans la même position sur la figure.

D) Pour calculer une longueur inconnue avec Thalès, on choisit une égalité de fractions qui contient cette longueur, puis on résout.

Exemple : si l’on sait que \[ \frac{4}{10}=\frac{3}{x}, \] on peut utiliser le produit en croix :

\[ \begin{aligned} \frac{4}{10} &= \frac{3}{x} \\ 4x &= 10\times 3 \\ 4x &= 30 \\ x &= \frac{30}{4} \\ x &= 7,5 \end{aligned} \]

Le produit en croix est très utile quand une proportion contient une longueur inconnue.

E) Il faut bien identifier les longueurs correspondantes.

Dans une configuration de Thalès, le petit segment sur une droite oblique correspond au grand segment situé sur la même droite oblique. De même, le petit segment parallèle correspond au grand segment parallèle.

On ne mélange pas des longueurs qui ne sont pas dans la même position, sinon la proportion est fausse.

F) Les unités doivent être les mêmes dans tout le calcul.

Si toutes les longueurs sont en centimètres, alors le résultat sera aussi en centimètres. Il n’est pas nécessaire de changer d’unité si tout est déjà exprimé de la même façon.

G) À la fin, il faut rédiger une réponse complète.

On ne se contente pas d’écrire un nombre seul. On écrit par exemple : Donc la longueur cherchée est égale à … cm.

Il est aussi important de vérifier si le résultat paraît cohérent : une grande longueur doit être supérieure à une longueur située sur le segment parallèle plus petit, et une petite longueur doit rester inférieure à une longueur correspondante plus grande.