Corrigé de l'exercice 4, page 213 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on utilise souvent la réciproque du théorème de Thalès. Elle s’applique dans une figure où deux droites se coupent en un point, et où deux autres points sont placés sur chacune de ces droites.

Si les points sont disposés dans le même ordre et si les longueurs vérifient une égalité de rapports, alors on peut conclure que les droites sont parallèles.

Par exemple, si les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(O\), et si \(A, O, C\) sont alignés ainsi que \(B, O, D\), alors si

\[ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}, \]

on peut conclure que les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont parallèles.

B) Avant d’utiliser la réciproque de Thalès, il faut vérifier les alignements et le point d’intersection des droites.

Dans ce type de figure, on repère : deux droites sécantes qui se coupent en un point ; deux points sur la première droite ; deux autres points sur la seconde droite.

Il faut donc être attentif à la lecture de la figure et de l’énoncé : savoir quels points sont sur une même droite, et dans quel ordre ils apparaissent. Cette étape est indispensable pour savoir quels rapports comparer.

C) Pour appliquer correctement la réciproque de Thalès, il faut former les bons rapports avec des longueurs qui partent du même point d’intersection.

On compare donc des longueurs du type : \[ \frac{\text{distance du point d’intersection au 1er point}}{\text{distance du point d’intersection au 2e point}}. \] Il ne faut pas mélanger des longueurs qui ne correspondent pas.

Exemple :

\[ \frac{2,8}{4,2}=\frac{4}{6} \]

car ces deux fractions sont égales à \(\frac{2}{3}\). Dans ce cas, si les points sont bien alignés comme il faut, cela permettrait de conclure au parallélisme.

D) Pour savoir si deux rapports sont égaux, on peut simplifier les fractions ou calculer leur valeur.

Exemple de simplification :

\[ \frac{4,5}{7,5}=\frac{45}{75}=\frac{3}{5}. \]

Et si l’autre rapport vaut aussi \(\frac{3}{5}\), alors les deux rapports sont égaux.

On peut aussi poser les calculs de façon claire :

\[ \begin{aligned} \frac{4,5}{7,5} &= \frac{45}{75} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned} \]

E) La conclusion doit être rédigée avec soin. On ne dit pas seulement que “les rapports sont égaux” : il faut terminer par la phrase qui utilise la propriété.

Par exemple :

Comme les points sont alignés dans le bon ordre et que les rapports des longueurs sont égaux, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites considérées sont parallèles.

Cette dernière phrase est importante : c’est elle qui répond vraiment à la question posée.