Corrigé de l'exercice 82, page 70 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Conversion des unités de temps

On doit savoir passer des heures aux minutes, et des minutes aux secondes.

\[\ 1\ \text{h} = 60\ \text{min}\] \[\ 1\ \text{min} = 60\ \text{s}\]

Exemple : pour transformer \(3\) min \(18\) s en secondes, on calcule d’abord le nombre de secondes dans \(3\) minutes, puis on ajoute les \(18\) secondes.

\[\ 3\ \text{min} = 3\times 60\ \text{s}\] \[\ = 180\ \text{s}\]

\[\ 3\ \text{min}18\ \text{s} = 180\ \text{s} + 18\ \text{s}\] \[\ = 198\ \text{s}\]

B) Notion de multiple et de multiple commun

Un nombre \(a\) est un multiple d’un nombre \(b\) si on peut écrire :

\[\ a = b\times k\]

où \(k\) est un entier. Par exemple, \(198\) est un multiple de \(9\) car :

\[\ 198 = 9\times 22\]

Un multiple commun de deux nombres est un nombre qui est multiple des deux. Par exemple, \(900\) est un multiple commun de \(100\) et \(225\) car :

\[\ 900 = 100\times 9\] \[\ 900 = 225\times 4\]

C) Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier (supérieur à 1) peut être écrit comme un produit de nombres premiers. On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), etc.

Exemple :

\[\ 198 = 2\times 99\] \[\ = 2\times 9\times 11\] \[\ = 2\times 3^{2}\times 11\]

\[\ 225 = 9\times 25\] \[\ = 3^{2}\times 5^{2}\]

D) Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre entier qui est un multiple des deux. Pour le trouver à partir des décompositions en facteurs premiers :

• on prend tous les nombres premiers qui apparaissent,
• pour chacun, on garde la plus grande puissance rencontrée,
• on multiplie le tout.

Exemple avec \(198\) et \(225\) :

\[\ 198 = 2\times 3^{2}\times 11\] \[\ 225 = 3^{2}\times 5^{2}\]

On prend \(2\), \(3^{2}\), \(5^{2}\) et \(11\) :

\[\ \text{PPCM}(198,225) = 2\times 3^{2}\times 5^{2}\times 11\] \[\ = 4\,950\]

Le nombre \(4\,950\) est le plus petit nombre qui soit à la fois multiple de \(198\) et de \(225\). Dans un problème de mouvements périodiques (comme des tours de piste), cela correspond au plus petit temps après lequel les deux mouvements se reproduisent ensemble.

E) Repasser des secondes en heures, minutes, secondes

Pour transformer une durée exprimée en secondes en heures, minutes et secondes :

• on commence par voir combien de fois \(3\,600\) (nombre de secondes dans une heure) « rentre » dans la durée ;
• le reste se transforme ensuite en minutes (en divisant par \(60\)), puis le dernier reste correspond aux secondes.

Exemple avec \(4\,950\) s :

On enlève d’abord des heures :

\[\ 4\,950\ \text{s} = 3\,600\ \text{s} + 1\,350\ \text{s}\]

Donc on a \(1\) heure et encore \(1\,350\) secondes.

On convertit \(1\,350\) secondes en minutes et secondes :

\[\ 1\,350\ \text{s} = 22\times 60\ \text{s} + 30\ \text{s}\]

On obtient donc :

\[\ 4\,950\ \text{s} = 1\ \text{h}22\ \text{min}30\ \text{s}\]