⚡Avant de regarder la solution :
- Si tu n’as pas trouvé la réponse, lis bien les rappels ci-dessous, ils te donnent des indices 🔍️
- Si tu penses avoir terminé, revérifie ton raisonnement et tes calculs avant de comparer avec la solution 🙂
Partager sur⭐ À savoir pour bien répondre :
A) Un nombre entier est un nombre sans partie décimale (… , \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, …).
On dit que « \(a\) est un multiple de \(b\) » lorsqu’il existe un entier \(k\) tel que :
\[a = b \times k\]
On dit aussi que « \(b\) est un diviseur de \(a\) » dans ce cas.
B) Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Par exemple, 7 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 7. En revanche, 9 n’est pas premier car :
\[9 = 3 \times 3\]
C) Division euclidienne : pour deux entiers \(a\) et \(b\) (avec \(b e 0\)), il existe des entiers \(q\) et \(r\) tels que :
\[a = bq + r\]
avec un reste \(r\) vérifiant :
\[0 \le r < b\]
Exemple : la division de 17 par 4 donne :
\[17 = 4 \times 4 + 1\]
Le quotient est 4 et le reste est 1.
D) Grâce à la division euclidienne, tout entier peut s’écrire sous certaines formes particulières :
- En divisant par 4 : tout entier \(n\) peut s’écrire
\[n = 4q\]
\[n = 4q + 1\]
\[n = 4q + 2\]
\[n = 4q + 3\]
où \(q\) est un entier.
- En divisant par 6 : tout entier \(n\) peut s’écrire
\[n = 6k\]
\[n = 6k + 1\]
\[n = 6k + 2\]
\[n = 6k + 3\]
\[n = 6k + 4\]
\[n = 6k + 5\]
où \(k\) est un entier. Ces écritures permettent d’étudier si un nombre est pair, multiple de 3, etc.
E) Parité et multiples :
- Un nombre est pair s’il est multiple de 2 : il existe un entier \(n\) tel que
\[a = 2n\]
- Un nombre est impair s’il s’écrit
\[a = 2n + 1\]
avec \(n\) entier. Si un nombre est pair et strictement supérieur à 2, il n’est pas premier, car il a au moins les diviseurs 1, 2 et lui-même.
F) Multiples de 2, 3, 5 et conséquences pour les nombres premiers :
- Si un nombre s’écrit
\[a = 2 \times n\]
il est multiple de 2.
- Si un nombre s’écrit
\[a = 3 \times n\]
il est multiple de 3.
- Si un nombre s’écrit
\[a = 5 \times n\]
il est multiple de 5.
Un nombre premier supérieur à 2 ne peut pas être multiple de 2. Un nombre premier supérieur à 3 ne peut pas être multiple de 3. Un nombre premier supérieur à 5 ne peut pas être multiple de 5. Ces remarques sont utilisées pour éliminer certains cas dans l’étude des nombres de la forme \(4n+r\) ou \(6n+r\).
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Détails du livre :
| Titre du livre | Transmath 3e |
|---|---|
| Collection | Transmath |
| Éditeur | Nathan |
| Année d'édition | 2021 |
| ISBN | 978-2091729404 |