Corrigé de l'exercice 85, page 70 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Conversion des heures, minutes et secondes

On doit être capable de passer d’une unité de temps à une autre :

\[1\ \text{min} = 60\ \text{s}\]

\[1\ \text{h} = 60\ \text{min}\] \[= 3\,600\ \text{s}\]

Par exemple, pour convertir 1 h 9 min en minutes :

\[1\ \text{h} = 60\ \text{min}\]

Donc :

\[1\ \text{h}\ 9\ \text{min} = 60\ \text{min} + 9\ \text{min}\] \[= 69\ \text{min}\]

B) Phénomène périodique et « toutes les … secondes »

Quand on dit qu’une montre sonne toutes les 60 secondes, cela signifie qu’elle sonne à :

\[60\ \text{s}\] \[120\ \text{s}\] \[180\ \text{s}\] \[240\ \text{s}\]

c’est-à-dire à des instants multiples de 60.

De même, si une montre sonne toutes les 64 secondes, elle sonne aux instants :

\[64\ \text{s}\] \[128\ \text{s}\] \[192\ \text{s}\] \[256\ \text{s}\]

c’est-à-dire aux instants multiples de 64.

C) Utiliser des lettres pour représenter des nombres inconnus

On utilise des lettres (par exemple \(n\) ou \(m\)) pour représenter des nombres inconnus.

Par exemple, si une montre sonne toutes les 60 secondes et que l’on note \(n\) le nombre de sonneries depuis le départ, le temps écoulé (en secondes) est :

\[t = 60n\]

Cette écriture permet de modéliser la situation et de travailler de manière générale.

D) Traduire une phrase en égalité

Il faut savoir transformer une phrase en équation. Par exemple :

« La deuxième montre sonne 20 secondes après la première »

se traduit par :

\[t_2 = t_1 + 20\]

Si l’on sait aussi que :

\[t_1 = 60n\]

\[t_2 = 64m\]

alors on peut écrire :

\[64m = 60n + 20\]

E) Notion de « multiple de » et divisibilité

Un nombre est un multiple de 16 s’il peut s’écrire :

\[16 \times \text{(entier)}\]

Par exemple :

\[80 = 16 \times 5\]

donc 80 est un multiple de 16.

Dans une équation comme :

\[16m = 15n + 5\]

on comprend que le nombre \(15n + 5\) doit être un multiple de 16, ce qui permet de chercher les valeurs possibles de \(n\) en testant la divisibilité par 16.

F) Comparer une durée à 1 heure avec une inéquation

On sait que :

\[1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}\]

Dire qu’un instant est « juste après 9 h » signifie que le temps écoulé depuis 8 h est strictement supérieur à 3 600 secondes, ce que l’on traduit par une inéquation :

\[t > 3\,600\]

Cela permet de trouver les valeurs possibles de l’inconnu en résolvant une inéquation simple.