Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage221Exercice2

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles, mais surtout, les diagonales se coupent en leur milieu. Cela veut dire que le point d’intersection des diagonales est le milieu de chacune d’elles.

Si un quadrilatère \(EFGH\) est un parallélogramme et si ses diagonales \([EG]\) et \([FH]\) se coupent en \(M\), alors \(M\) est le milieu de \([EG]\) et de \([FH]\).

Autrement dit, on a :

\[ ME = MG \quad \text{et} \quad MF = MH \]

Il faut bien retenir que, dans un parallélogramme, le centre est le point où les diagonales se croisent.

B) Pour reconnaître le milieu d’un segment, il faut vérifier deux conditions :

• le point appartient au segment ;
• il partage ce segment en deux parties de même longueur.

Par exemple, si un point \(N\) est sur \([RT]\) et que \(RN = NT\), alors \(N\) est le milieu de \([RT]\).

Attention : dire seulement que deux longueurs sont égales ne suffit pas toujours. Il faut aussi que le point soit bien sur le segment.

C) Une propriété très utile pour reconnaître un parallélogramme est la réciproque de la propriété des diagonales :

Si, dans un quadrilatère, les diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Cela signifie que si les diagonales \([PR]\) et \([QS]\) se coupent en un point \(K\) avec

\[ PK = KR \quad \text{et} \quad QK = KS \]

alors \(PQRS\) est un parallélogramme.

C’est souvent cette propriété qu’il faut utiliser quand on observe des petits traits de codage sur un dessin.

D) Certaines affirmations sont fausses pour un parallélogramme en général. Par exemple, les diagonales ne sont pas forcément perpendiculaires et elles ne sont pas forcément de même longueur.

Ces propriétés peuvent être vraies dans des cas particuliers :

• dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires ;
• dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.

Mais dans un parallélogramme quelconque, on ne peut pas affirmer cela automatiquement.

E) Pour lire un codage sur une figure :

• des segments portant le même nombre de petits traits ont la même longueur ;
• un petit carré indique un angle droit ;
• si deux diagonales portent des codages montrant que chaque diagonale est partagée en deux parties égales, alors elles se coupent en leur milieu.

Par exemple, si sur une figure on lit

\[ AX = XC \quad \text{et} \quad BX = XD \]

alors \(X\) est le milieu de \([AC]\) et aussi le milieu de \([BD]\). On peut donc en déduire que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

F) Pour répondre correctement à ce type de questions, il faut donc se demander :

• le point indiqué est-il le milieu d’une diagonale ?
• est-il aussi le milieu de l’autre diagonale ?
• les informations données parlent-elles de longueurs égales, de perpendicularité, ou bien du milieu ?

La notion la plus importante ici est : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, et réciproquement, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.