Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage223Exercice3

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un cercle est l’ensemble des points situés à la même distance de son centre. Cette distance s’appelle le rayon. Donc, si un point \(M\) appartient à un cercle de centre \(O\), alors \(OM\) est égal au rayon du cercle.

Par exemple, si un cercle a pour centre \(P\) et pour rayon \(4\), et si le point \(N\) est sur ce cercle, alors \(PN=4\).

B) Deux cercles symétriques par rapport à un point ont le même rayon, et leurs centres sont eux-mêmes symétriques par rapport à ce point. Cela signifie que ce point est le milieu du segment joignant les deux centres.

Autrement dit, si un cercle de centre \(O\) est l’image d’un cercle de centre \(O'\) par symétrie centrale de centre \(K\), alors \(K\) est le milieu de \([OO']\) et les deux cercles ont le même rayon.

C) Le milieu d’un segment est le point du segment qui le partage en deux parties de même longueur. Donc, si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(A\), \(I\) et \(B\) sont alignés et \(AI=IB\).

Cela permet souvent de reconnaître une symétrie centrale : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\).

D) Pour montrer qu’un quadrilatère est un losange, on peut prouver que ses quatre côtés ont la même longueur. En effet, un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.

Par exemple, si dans un quadrilatère \(EFGH\) on montre que \(EF=FG=GH=HE\), alors \(EFGH\) est un losange.

E) Quand un point appartient à deux cercles, on peut utiliser les rayons des deux cercles pour obtenir des égalités de longueurs. Si un point \(X\) est sur un cercle de centre \(O\), alors \(OX\) est un rayon ; s’il est aussi sur un autre cercle de centre \(O'\), alors \(O'X\) est aussi un rayon.

On obtient donc souvent des égalités comme \(OX=OY\) sur un même cercle, ou encore des égalités entre longueurs venant de deux cercles de même rayon.

F) Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires. Cela signifie qu’elles se coupent en formant un angle droit.

Donc, si on a démontré qu’un quadrilatère est un losange, on peut en déduire que ses diagonales sont perpendiculaires. Si les diagonales sont \((PR)\) et \((QS)\), alors on peut écrire \((PR)\perp (QS)\).

G) Il faut bien repérer les diagonales d’un quadrilatère. Dans un quadrilatère nommé dans l’ordre \(A\), \(C\), \(B\), \(D\), les diagonales relient les sommets opposés : ce sont donc \([AB]\) et \([CD]\).

Ainsi, si on sait que \(ACBD\) est un losange, alors ses diagonales sont \((AB)\) et \((CD)\), donc elles sont perpendiculaires.