Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage223Exercice4

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur et les diagonales ont aussi la même longueur. Si un rectangle s’appelle par exemple EFGH, alors on a \(EF = GH\), \(FG = EH\) et \(EG = FH\). Ici, cela permet souvent de comparer certaines longueurs du rectangle construit.

B) Un point placé sur un cercle de centre \(O\) est toujours à la même distance du centre. Cette distance s’appelle le rayon. Donc si deux points, par exemple \(R\) et \(S\), sont sur un même cercle de centre \(O\), alors \(OR = OS\). Cela est très utile pour montrer qu’une longueur reste constante quand un point se déplace sur le cercle.

C) Dans un rectangle, un angle est droit. On peut donc utiliser le fait qu’un triangle formé avec deux côtés du rectangle est souvent un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore : si le triangle est rectangle en \(K\), alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Par exemple, si \(XY = 5\) cm et \(YZ = 12\) cm, alors \[ \begin{aligned} XZ^2 &= XY^2 + YZ^2 \\ &= 5^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169 \end{aligned} \] donc \(XZ = 13\) cm.

D) Pour montrer qu’une longueur ne change pas, on peut dire qu’elle est constante. En géométrie, on justifie cela en reliant cette longueur à une autre longueur que l’on connaît déjà. Par exemple, si on prouve que \(UV\) est une diagonale d’un rectangle et qu’elle est égale à un rayon du cercle, alors \(UV\) garde toujours la même valeur, même si la figure bouge.

E) Il faut bien distinguer les objets géométriques : une droite est illimitée, un segment a deux extrémités, et un point est une position précise. Dire que \(M\) est sur la droite \((OA)\) signifie que les points \(O\), \(M\) et \(A\) sont alignés. Dire que \(N\) est sur la droite \((OB)\) signifie que \(O\), \(N\) et \(B\) sont alignés. Ces informations aident à reconnaître la forme du rectangle et les triangles utiles dans la figure.

F) Quand un point se déplace sur un cercle, certaines longueurs changent, mais d’autres non. En particulier, toutes les longueurs reliant le centre à un point du cercle restent égales au rayon. L’idée importante est donc d’identifier, dans la figure, une longueur que l’on peut relier à ce rayon pour conclure qu’elle ne varie pas.