Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage241Exercice3

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour calculer l’aire d’une figure composée, on peut la découper en figures simples que l’on connaît déjà : carré, rectangle, triangle, parallélogramme, trapèze… Ensuite, on calcule l’aire de chaque partie puis on additionne les aires.

Par exemple, si une figure est formée d’un carré de côté \(4\) cm et d’un triangle de base \(4\) cm et de hauteur \(4\) cm, alors :

\[\begin{aligned} \text{Aire totale} &= \text{aire du carré} + \text{aire du triangle} \\ &= 4\times 4 + \dfrac{4\times 4}{2} \\ &= 16 + 8 \\ &= 24\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

B) L’aire d’un carré se calcule avec la formule :

\[ \text{Aire du carré} = \text{côté} \times \text{côté} \]

Si le côté mesure \(6\) cm, alors l’aire vaut :

\[ 6\times 6 = 36\ \text{cm}^2 \]

Les petits traits de codage sur une figure indiquent souvent que des longueurs sont égales. Donc si un côté d’un carré est connu, tous les autres côtés du carré ont la même longueur.

C) L’aire d’un triangle se calcule avec la formule :

\[ \text{Aire du triangle} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \]

Attention : la hauteur doit être perpendiculaire à la base. On la repère souvent grâce à un petit angle droit sur la figure.

Exemple avec une base de \(8\) cm et une hauteur de \(5\) cm :

\[\begin{aligned} \text{Aire} &= \dfrac{8\times 5}{2} \\ &= \dfrac{40}{2} \\ &= 20\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

D) Pour un trapèze, on peut utiliser la formule :

\[ \text{Aire du trapèze}=\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times \text{hauteur}}{2} \]

La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases parallèles.

Exemple avec une grande base de \(7\) cm, une petite base de \(3\) cm et une hauteur de \(4\) cm :

\[\begin{aligned} \text{Aire} &= \dfrac{(7+3)\times 4}{2} \\ &= \dfrac{10\times 4}{2} \\ &= \dfrac{40}{2} \\ &= 20\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

E) On peut aussi calculer l’aire d’un trapèze en le découpant en plusieurs triangles ou en un rectangle et un ou deux triangles. C’est souvent pratique quand une diagonale est tracée dans la figure.

Par exemple, si une diagonale partage une figure en deux triangles, on peut calculer :

\[\begin{aligned} \text{Aire totale} &= \text{aire du premier triangle} + \text{aire du second triangle} \end{aligned}\]

Cette méthode donne le même résultat que la formule du trapèze, mais elle peut être plus facile si les mesures utiles sont déjà indiquées sur le dessin.

F) Il faut toujours vérifier les unités. Comme on calcule une aire, le résultat s’exprime en cm² (centimètres carrés), et non en cm.

Une longueur s’exprime en cm, mais une aire correspond à une surface : on écrit donc par exemple \(15\ \text{cm}^2\).

G) Quand plusieurs réponses sont proposées, il est utile de faire une estimation pour repérer si un résultat semble possible. Une aire ne peut jamais être négative, et elle doit être cohérente avec la taille de la figure.

Par exemple, si une figure est à peu près contenue dans un rectangle de \(6\) cm sur \(5\) cm, son aire sera forcément inférieure ou égale à \(30\ \text{cm}^2\). Cela permet d’éliminer une réponse trop grande.