Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage243Exercice3

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour calculer l’aire d’une figure compliquée, on commence souvent par la décomposer en figures simples que l’on connaît déjà : rectangles, triangles, trapèzes, disques ou demi-disques. Ensuite, on additionne les aires des morceaux si toute la figure est remplie, ou bien on soustrait certaines aires si une partie est enlevée.

Exemple : si une figure est formée d’un rectangle de dimensions \(5\) cm et \(3\) cm, et d’un triangle de base \(4\) cm et de hauteur \(2\) cm, alors :

\[\begin{aligned} \text{Aire totale} &= \text{aire du rectangle} + \text{aire du triangle} \\ &= 5\times 3 + \dfrac{4\times 2}{2} \\ &= 15 + 4 \\ &= 19\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

B) L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule :

\[ A = L \times l \]

où \(L\) est la longueur et \(l\) la largeur.

Exemple : pour un rectangle de \(8\) cm sur \(2{,}5\) cm :

\[\begin{aligned} A &= 8\times 2{,}5 \\ &= 20\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

C) L’aire d’un triangle se calcule avec :

\[ A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \]

Attention : la hauteur doit être perpendiculaire à la base. Ce n’est pas forcément un côté du triangle.

Exemple : pour un triangle de base \(6\) cm et de hauteur \(3\) cm :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{6\times 3}{2} \\ &= \dfrac{18}{2} \\ &= 9\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

D) L’aire d’un trapèze se calcule avec :

\[ A = \dfrac{(\text{grande base} + \text{petite base}) \times \text{hauteur}}{2} \]

La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases parallèles.

Exemple : si un trapèze a pour bases \(10\) cm et \(4\) cm, et pour hauteur \(5\) cm :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{(10+4)\times 5}{2} \\ &= \dfrac{14\times 5}{2} \\ &= \dfrac{70}{2} \\ &= 35\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

E) Pour un disque, on utilise la formule :

\[ A = \pi r^2 \]

où \(r\) est le rayon. Si on connaît le diamètre, il faut d’abord penser que :

\[ r=\dfrac{d}{2} \]

Exemple : si le diamètre d’un cercle est \(8\) cm, alors le rayon vaut \(4\) cm, donc :

\[\begin{aligned} A &= \pi \times 4^2 \\ &= 16\pi\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

F) Pour un demi-disque, on prend la moitié de l’aire du disque :

\[ A = \dfrac{\pi r^2}{2} \]

Exemple : avec un rayon de \(3\) cm :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{\pi \times 3^2}{2} \\ &= \dfrac{9\pi}{2}\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]

G) Il faut bien distinguer diamètre et rayon. Le diamètre est la longueur qui traverse le cercle en passant par son centre. Le rayon est la moitié du diamètre.

\[ d = 2r \qquad \text{et} \qquad r=\dfrac{d}{2} \]

Exemple : si \(d=9\) cm, alors :

\[\begin{aligned} r &= \dfrac{9}{2} \\ &= 4{,}5\ \text{cm} \end{aligned}\]

H) Dans certaines figures, des traits de même marque indiquent que des longueurs sont égales. Cela permet de retrouver une mesure manquante sans avoir à mesurer sur le dessin.

Exemple : si deux segments portent la même marque et que l’un mesure \(4{,}8\) cm, alors l’autre mesure aussi \(4{,}8\) cm.

I) Quand une longueur totale est formée de plusieurs morceaux, on peut utiliser une addition. Quand on cherche un morceau manquant, on peut utiliser une soustraction.

Exemple : si une longueur totale mesure \(11\) cm et qu’un premier morceau mesure \(4{,}2\) cm, alors le reste vaut :

\[\begin{aligned} 11 - 4{,}2 &= 6{,}8 \end{aligned}\]

Donc la longueur manquante est \(6{,}8\) cm.

J) Les longueurs sont données en cm, donc les aires doivent être exprimées en cm². Il ne faut pas oublier l’unité à la fin du calcul.

Par exemple, si on fait \(7\times 3=21\), on écrit pour une aire : \(21\ \text{cm}^2\), et non \(21\ \text{cm}\).

K) Il ne faut pas mesurer les figures avec la règle si l’énoncé précise qu’elles ne sont pas en vraie grandeur. On utilise uniquement les longueurs indiquées sur le dessin et les relations géométriques données.

L) Pour bien présenter un calcul d’aire, il est conseillé de suivre toujours la même méthode : identifier la figure, écrire la formule, remplacer par les valeurs, puis calculer.

Exemple pour un triangle :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \\ &= \dfrac{9\times 4}{2} \\ &= \dfrac{36}{2} \\ &= 18\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]