Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage244Exercice4

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour représenter une situation réelle sur un dessin, on utilise une échelle. Ici, un carré de côté 10 m est représenté par un carré de côté 10 cm : cela signifie que 1 m dans la réalité correspond à 1 cm sur le dessin. Donc, pour une longueur plus petite, on applique la même correspondance. Par exemple, si une corde mesure 6 m en réalité, on la représentera par 6 cm sur le dessin.

B) Quand un animal est attaché à un point fixe avec une corde tendue, il peut atteindre tous les points situés à une distance inférieure ou égale à la longueur de la corde. La frontière de cette zone est un arc de cercle, et la zone complète serait un disque si aucun obstacle ne gênait. Par exemple, avec une corde de 5 m attachée à un piquet, l’animal peut atteindre tous les points situés à 5 m ou moins du piquet.

C) Si un obstacle bloque une partie du disque, on ne garde que la partie accessible. Dans ce type de situation, la grange empêche l’animal de passer à travers : la surface autorisée n’est donc pas un disque complet. Il faut retirer la partie située à l’intérieur du bâtiment et ne conserver que la région extérieure. Selon la position du point d’attache, on obtient souvent une moitié de disque, ou bien plusieurs morceaux de disques.

D) Il faut bien reconnaître les différentes portions de cercle : un disque correspond au cercle entier, un demi-disque correspond à la moitié d’un disque, un quart de disque correspond à un quart de disque. Pour les aires, on part de l’aire du disque :

\[ A=\pi r^2 \]

Donc : un demi-disque a pour aire

\[ A=\dfrac{\pi r^2}{2} \]

et un quart de disque a pour aire

\[ A=\dfrac{\pi r^2}{4} \]

Par exemple, pour un rayon de 3 m, l’aire du disque est \( \pi \times 3^2 = 9\pi \) m², donc l’aire d’un quart de disque est \( \dfrac{9\pi}{4} \) m².

E) Quand la corde rencontre un coin du bâtiment, elle peut contourner ce coin si sa longueur est suffisante. Dans ce cas, une partie de la corde a déjà été utilisée pour aller du point d’attache jusqu’au coin. La longueur qui reste permet alors de former un nouvel arc de cercle à partir de ce coin. Il faut donc calculer la longueur restante :

\[ \text{longueur restante}=\text{longueur totale de la corde}-\text{distance déjà parcourue} \]

Par exemple, si la corde mesure 7 m et que 2 m ont été utilisés pour atteindre un coin, il reste \(7-2=5\) m pour tourner autour de ce coin.

F) Pour calculer une aire totale, on additionne les aires des différentes parties accessibles. Si la surface est formée, par exemple, d’un demi-disque et de deux quarts de disque, on additionne leurs aires. Il est important de bien identifier le rayon de chaque partie, car il peut changer selon la longueur de corde restante.

Exemple de calcul :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{\pi \times 5^2}{2} + \dfrac{\pi \times 2^2}{4} + \dfrac{\pi \times 2^2}{4} \\ &= \dfrac{25\pi}{2} + \pi + \pi \\ &= \dfrac{25\pi}{2} + 2\pi \\ &= \dfrac{29\pi}{2} \end{aligned}\]

G) Pour comparer plusieurs surfaces, on peut comparer leurs écritures exactes avec \( \pi \), ou bien utiliser une valeur approchée de \( \pi \), par exemple \( \pi \approx 3{,}14 \). Cela permet de savoir quelle situation donne la plus grande aire. Par exemple :

\[\begin{aligned} 8\pi &\approx 8 \times 3{,}14 \\ &\approx 25{,}12 \end{aligned}\]

On peut alors comparer facilement cette valeur avec une autre aire exprimée en m².

H) Enfin, il faut toujours vérifier que l’unité de l’aire est correcte. Comme les longueurs sont en mètres, les aires seront en mètres carrés, notés \( \text{m}^2 \). Si le dessin est fait en centimètres, cela sert seulement à construire la figure ; les calculs d’aire demandés dans le problème se font avec les mesures réelles.