Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage245Exercice5

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour estimer l’aire d’une figure compliquée, on peut la décomposer en figures simples que l’on connaît déjà : disques, demi-disques, quarts de disque, rectangles… Ensuite, on additionne les aires des morceaux qui font partie de la figure, et on soustrait les morceaux en trop s’il y en a.

Par exemple, si une forme ressemble à un grand demi-disque auquel on ajoute un quart de disque, on peut écrire :

\[\begin{aligned} \text{Aire totale} &= \text{aire du demi-disque} + \text{aire du quart de disque} \end{aligned}\]

B) L’aire d’un disque de rayon \(r\) se calcule avec la formule :

\[ A=\pi r^2 \]

Il ne faut pas confondre le rayon et le diamètre :

\[ d=2r \qquad \text{donc} \qquad r=\dfrac{d}{2} \]

Exemple : si un disque a un diamètre de \(18\) km, alors son rayon est \(9\) km, et son aire vaut :

\[\begin{aligned} A &= \pi \times 9^2 \\ &= 81\pi \end{aligned}\]

C) Si on utilise seulement une partie de disque, on prend seulement une fraction de l’aire du disque complet.

Pour un demi-disque :

\[ A=\dfrac{\pi r^2}{2} \]

Pour un quart de disque :

\[ A=\dfrac{\pi r^2}{4} \]

Exemple : pour un rayon de \(12\) km, l’aire d’un demi-disque est :

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{\pi \times 12^2}{2} \\ &= \dfrac{144\pi}{2} \\ &= 72\pi \end{aligned}\]

D) Sur une carte, on peut utiliser l’échelle graphique pour estimer des longueurs réelles. Il faut comparer une longueur mesurée sur la carte avec la barre d’échelle donnée.

Par exemple, si une barre d’échelle représente \(800\) km et qu’un segment sur la carte mesure environ \(3\) fois cette barre, alors la longueur réelle est environ :

\[\begin{aligned} 3 \times 800 &= 2400 \end{aligned}\]

La longueur réelle est donc d’environ \(2400\) km.

E) Quand on cherche une valeur approchée, il est normal de ne pas obtenir un résultat exact. La figure n’est pas parfaitement géométrique, donc on fait une estimation raisonnable.

On peut aussi remplacer \(\pi\) par une valeur approchée, par exemple :

\[ \pi \approx 3{,}14 \]

Exemple :

\[\begin{aligned} 25\pi &\approx 25 \times 3{,}14 \\ &\approx 78{,}5 \end{aligned}\]

F) L’unité d’aire se note en kilomètres carrés si les longueurs sont en kilomètres. On écrit alors \( \text{km}^2 \).

Attention : une longueur s’exprime en km, mais une aire s’exprime en \( \text{km}^2 \). Si on calcule l’aire d’une figure à partir de mesures en kilomètres, le résultat final doit donc être en \( \text{km}^2 \).

G) Pour bien organiser le travail, il est utile de suivre une méthode :

1. repérer les formes simples dans la figure ;

2. estimer leurs dimensions grâce à l’échelle ;

3. calculer l’aire de chaque morceau ;

4. additionner ou soustraire selon le découpage choisi ;

5. donner une valeur approchée finale en \( \text{km}^2 \).

Cette méthode permet d’obtenir une réponse cohérente, même si la forme de départ est irrégulière.