Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage245Exercice7

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Quand deux côtés d’un triangle ont la même longueur, on dit que c’est un triangle isocèle. Ici, les deux branches du compas sont représentées par deux segments de même longueur, donc le triangle formé est isocèle. Dans un triangle isocèle, les deux côtés égaux partent du même sommet.

B) L’aire d’un triangle se calcule avec la formule : \[ \text{Aire}=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2} \] La base est un côté du triangle, et la hauteur correspond à la distance perpendiculaire entre cette base et le sommet opposé. Par exemple, si une base mesure \(10\) cm et la hauteur associée \(6\) cm, alors : \[ \text{Aire}=\dfrac{10\times 6}{2}=30\ \text{cm}^2 \]

C) Pour une même base, plus la hauteur est grande, plus l’aire du triangle est grande. Donc, pour chercher quand l’aire est maximale, il faut repérer quand la hauteur est maximale.

D) Dans une figure symétrique comme un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal partage souvent le triangle en deux triangles rectangles égaux. Cela permet d’utiliser des propriétés simples sur les triangles rectangles et de mieux comprendre comment varie la hauteur quand l’angle s’ouvre ou se referme.

E) Un angle se mesure en degrés. Quand l’angle entre les deux branches du compas augmente, la forme du triangle change. Si l’angle est très petit, le triangle est aplati et son aire est petite. Si l’angle devient très grand, le triangle se referme de l’autre côté et l’aire diminue aussi. Il faut donc chercher une position intermédiaire où l’aire est la plus grande.

F) On peut remarquer qu’avec deux côtés fixés, le triangle a souvent sa plus grande aire quand la hauteur est la plus grande possible. Or la hauteur est maximale lorsque les deux côtés égaux forment un angle droit, c’est-à-dire un angle de \(90^\circ\). Dans ce cas, le triangle est plus “ouvert” de façon optimale pour obtenir la plus grande aire.

G) Pour justifier un résultat en géométrie, il faut expliquer avec des propriétés et pas seulement avec l’observation du dessin. Un dessin ou un logiciel permet de conjecturer, c’est-à-dire de deviner un résultat, mais ensuite il faut le prouver en s’appuyant sur les formules d’aire et sur les propriétés du triangle isocèle.