Corrigé de l'exercice 12, page 155 - 2de Maths

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Repère orthogonal et orthonormé : Un repère du plan est constitué de deux axes perpendiculaires, l’axe des abscisses (horizontal) et l’axe des ordonnées (vertical). - Un repère est orthogonal si les axes sont perpendiculaires. - Il est orthonormé si, en plus, les unités de mesure sont les mêmes sur les deux axes. Exemple : si un point \(P\) a pour coordonnées \( (3,4) \) dans un repère orthonormé, il se situe à 3 unités à droite de l’origine et 4 unités au-dessus.

B) Distance entre deux points dans un repère orthonormé : La distance \(AB\) entre deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) est donnée par la formule :

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \end{aligned}\]

Exemple : pour \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\) :

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}\]

C) Importance de l’orthonormalité : La formule de distance ci-dessus ne fonctionne correctement que dans un repère orthonormé. - Si le repère est simplement orthogonal mais que les unités sont différentes, il faudra ajuster chaque coordonnée en fonction de l’unité de l’axe. - Si le repère n’est pas orthogonal, il faut utiliser une formule plus complexe basée sur les vecteurs et les produits scalaires.

D) Coordonnées d’un point : Chaque point du plan peut être repéré par un couple \((x, y)\) indiquant sa position horizontale et verticale par rapport à l’origine du repère. Exemple : le point \(C(-2,3)\) se situe 2 unités à gauche de l’origine et 3 unités au-dessus.

E) Vérification de la distance : Pour vérifier vos calculs, on peut contrôler que la distance est positive et que si les points sont alignés horizontalement ou verticalement, la distance correspond simplement à la différence des coordonnées correspondantes. Exemple : pour \(D(5,1)\) et \(E(5,4)\),

\[\begin{aligned} DE &= \sqrt{(5-5)^2 + (4-1)^2} \\ &= \sqrt{0 + 3^2} \\ &= 3 \end{aligned}\]