Corrigé de l'exercice 13, page 155 - 2de Maths

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Vecteur dans le plan : Un vecteur \(\vec{AB}\) est défini par deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) du plan. Ses composantes sont données par :

\[\begin{aligned} \vec{AB} &= (x_B - x_A, \; y_B - y_A) \end{aligned}\]

Exemple : si A(2 ; 3) et B(5 ; 7), alors :

\[\begin{aligned} \vec{AB} &= (5-2, \; 7-3) \\ &= (3, 4) \end{aligned}\]

B) Colinéarité de deux vecteurs : Deux vecteurs \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) sont colinéaires si et seulement si il existe un réel \(k\) tel que :

\[ \vec{v} = k \cdot \vec{u} \]

Ou de manière pratique : les rapports de leurs composantes sont égaux (si \(u_1 eq 0\) et \(v_1 eq 0\)) :

\[\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2}\]

Exemple : \(\vec{u} = (2, 6)\) et \(\vec{v} = (1, 3)\). Vérification :

\[\begin{aligned} \frac{1}{2} &= 0,5 \\ \frac{3}{6} &= 0,5 \end{aligned}\]

Les vecteurs sont donc colinéaires.

C) Alignement de points : Trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. Cela revient à vérifier que :

\[\frac{x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_A}{y_B - y_A}\]

Exemple : A(1 ; 2), B(4 ; 5) et C(7 ; 8).

\[\begin{aligned} \frac{x_C - x_A}{x_B - x_A} &= \frac{7-1}{4-1} \\ &= \frac{6}{3} = 2 \\[2mm] \frac{y_C - y_A}{y_B - y_A} &= \frac{8-2}{5-2} \\ &= \frac{6}{3} = 2 \end{aligned}\]

Les rapports sont égaux, donc les points sont alignés.

D) Vérification par calcul direct : Pour confirmer l’alignement, on peut aussi utiliser la relation de colinéarité avec un coefficient \(k\) :

\[\begin{aligned} x_C - x_A &= k \cdot (x_B - x_A) \\ y_C - y_A &= k \cdot (y_B - y_A) \end{aligned}\]

Si le même \(k\) fonctionne pour les deux équations, les points sont alignés. Exemple : A(0 ; 1), B(2 ; 5), C(4 ; 9).

\[\begin{aligned} 4-0 &= k \cdot (2-0) \\ 4 &= 2k \\ k &= 2 \\ 9-1 &= k \cdot (5-1) \\ 8 &= 2 \cdot 4 \\ 8 &= 8 \end{aligned}\]

Donc les points sont alignés.