Corrigé de l'exercice 14, page 155 - 2de Maths

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) La distance entre deux points dans le plan

Pour calculer la distance entre deux points \(P(x_P, y_P)\) et \(Q(x_Q, y_Q)\), on utilise la formule :

\[\text{PQ} = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}\]

Par exemple, si \(P(2,3)\) et \(Q(5,7)\), on a :

\[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}\]

B) Les triangles isocèles et équilatéraux

Un triangle est isocèle lorsqu'il a au moins deux côtés de même longueur. Il est équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.

Exemple : un triangle avec des côtés de longueurs 6, 6 et 8 est isocèle (les deux côtés de 6 sont égaux). Un triangle avec trois côtés de 5 est équilatéral.

C) Les triangles rectangles et le théorème de Pythagore

Un triangle est rectangle si un angle est droit (90°). Dans ce cas, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse et le théorème de Pythagore s’applique :

\[\text{hypoténuse}^2 = (\text{côté 1})^2 + (\text{côté 2})^2\]

Exemple : si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5, on vérifie :

\[\begin{aligned} 5^2 &= 3^2 + 4^2 \\ 25 &= 9 + 16 \\ 25 &= 25 \end{aligned}\]

Le triangle est donc rectangle.

D) Vérification par les coordonnées pour un angle droit

Si les points du triangle sont \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), \(C(x_C,y_C)\), l’angle en \(C\) est droit si :

\[(\vec{CA} \cdot \vec{CB}) = 0\]

où \(\vec{CA} = (x_A-x_C, y_A-y_C)\) et \(\vec{CB} = (x_B-x_C, y_B-y_C)\). Le produit scalaire nul indique un angle droit.