Corrigé de l'exercice Maths 2deExercice69Page52

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Pour écrire un nombre comme produit de deux entiers naturels, on cherche ses diviseurs.

Un entier naturel \(d\) est un diviseur de \(n\) si la division de \(n\) par \(d\) tombe juste, c’est-à-dire s’il existe un entier naturel \(q\) tel que \(n=d\times q\).

Par exemple, \(9\) est un diviseur de \(72\) car \(72=9\times 8\).

B) Les écritures demandées sont des décompositions en produits de deux entiers naturels.

Il faut donc trouver tous les couples \((u\,;\,v)\) tels que \(u\times v=a\).

Par exemple, pour \(84\), on peut écrire :

\[ 84=1\times 84=2\times 42=3\times 28=4\times 21=6\times 14=7\times 12 \]

Ces produits donnent toutes les façons possibles si l’on ne compte pas deux fois le même couple dans l’ordre inverse.

C) Il est inutile de tester tous les nombres jusqu’à \(a\) : on peut s’arrêter quand on a dépassé la racine carrée du nombre.

En effet, si \(a=u\times v\) avec \(u\leq v\), alors \(u\leq \sqrt{a}\). Dès qu’un facteur est trouvé, l’autre se déduit automatiquement.

Par exemple, comme \(\sqrt{90}\) est un peu inférieur à \(10\), il suffit de tester les entiers naturels de \(1\) à \(9\).

D) Quand un nombre est pair, il est divisible par \(2\).

Plus généralement, les critères de divisibilité peuvent aider à aller plus vite :

\( \bullet \) un nombre finit par \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) : il est divisible par \(2\) ;

\( \bullet \) la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\) : il est divisible par \(3\) ;

\( \bullet \) s’il finit par \(0\) ou \(5\), il est divisible par \(5\).

Par exemple, \(138\) est divisible par \(2\) car il est pair, et aussi par \(3\) car \(1+3+8=12\), or \(12\) est un multiple de \(3\).

E) Deux produits qui ne diffèrent que par l’ordre des facteurs représentent la même décomposition.

En effet, la multiplication est commutative : \(u\times v=v\times u\).

Par exemple, \(8\times 15\) et \(15\times 8\) correspondent à la même façon d’écrire le nombre.

On peut donc présenter les résultats dans l’ordre croissant du premier facteur, pour éviter les répétitions.

F) Pour vérifier qu’on n’a rien oublié, on peut procéder de façon organisée en testant les diviseurs un par un.

Par exemple, pour un nombre comme \(96\), on teste successivement \(1\), puis \(2\), puis \(3\), etc. Chaque fois qu’un entier divise \(96\), on obtient un produit correspondant :

\[ 96=1\times 96,\quad 96=2\times 48,\quad 96=3\times 32,\quad 96=4\times 24,\quad 96=6\times 16,\quad 96=8\times 12 \]

Une fois arrivé à un facteur supérieur à \(\sqrt{96}\), on peut s’arrêter.