Corrigé de l'exercice Maths 2deExercice76Page52

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un diviseur d’un entier est un nombre entier qui permet de le partager sans reste. Dire que \(d\) est un diviseur de \(n\), c’est dire qu’il existe un entier \(k\) tel que \(n=d\times k\).

Par exemple, \(9\) est un diviseur de \(171\) car \(171=9\times 19\). En revanche, \(8\) n’est pas un diviseur de \(171\), car la division ne tombe pas juste.

B) Pour lister les diviseurs d’un nombre, on peut chercher toutes les multiplications qui donnent ce nombre. Les diviseurs vont souvent par paires.

Par exemple, pour \(84\), on peut écrire : \(84=1\times 84\), \(84=2\times 42\), \(84=3\times 28\), \(84=4\times 21\), \(84=6\times 14\), \(84=7\times 12\).

On en déduit que les diviseurs positifs de \(84\) sont : \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(7\), \(12\), \(14\), \(21\), \(28\), \(42\) et \(84\).

C) Le plus grand diviseur commun à deux nombres, appelé aussi PGCD, est le plus grand entier qui divise ces deux nombres en même temps.

Pour le trouver, on peut : soit lister les diviseurs des deux nombres puis repérer les diviseurs communs ; soit utiliser la décomposition en facteurs premiers si elle est connue.

Exemple : si deux nombres ont pour diviseurs communs \(1\), \(2\) et \(5\), alors leur PGCD est \(5\).

D) Une fraction est dite irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que \(1\).

Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple :

\[\begin{aligned} \frac{54}{72} &= \frac{54\div 18}{72\div 18} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}\]

Ici, le PGCD de \(54\) et \(72\) est \(18\), donc la fraction irréductible est \(\frac{3}{4}\).

E) Simplifier une fraction ne change pas sa valeur. On obtient une fraction équivalente, plus facile à lire ou à utiliser.

Par exemple, \(\frac{18}{30}\) et \(\frac{3}{5}\) représentent le même nombre, car :

\[\begin{aligned} \frac{18}{30} &= \frac{18\div 6}{30\div 6} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned}\]

F) Il faut bien distinguer diviseur, multiple et fraction.

Si \(45=5\times 9\), alors \(5\) et \(9\) sont des diviseurs de \(45\), et \(45\) est un multiple de \(5\) et de \(9\).

Cette idée est utile dans l’exercice, car pour simplifier une fraction \(\frac{a}{b}\), on cherche un nombre qui soit diviseur de \(a\) et de \(b\).

G) Quand on cherche les diviseurs d’un nombre, on peut s’arrêter quand on a dépassé sa racine carrée, car les diviseurs apparaissent par paires. Cela évite des recherches inutiles.

Par exemple, pour \(63\), on teste les entiers à partir de \(1\). Comme \(\sqrt{63}\) est un peu inférieur à \(8\), il suffit de tester jusqu’à \(7\). On trouve alors les paires : \(1\times 63\), \(3\times 21\), \(7\times 9\).

On obtient donc les diviseurs positifs : \(1\), \(3\), \(7\), \(9\), \(21\), \(63\).