Corrigé de l'exercice Maths 2deExercice71Page52

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un diviseur positif

Un nombre entier positif \(d\) est un diviseur d’un entier positif \(n\) lorsque la division euclidienne de \(n\) par \(d\) tombe juste, c’est-à-dire lorsque le reste est nul. Par exemple, pour vérifier que 4 est un diviseur de 20, on calcule :

\[\begin{aligned} 20 \div 4 &= 5 \end{aligned}\]

La division donne un résultat entier : 4 est donc un diviseur de 20.

B) Décomposition en facteurs premiers

Tout entier supérieur à 1 peut se décomposer comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l’ordre des facteurs près). Par exemple, pour décomposer 45 :

\[\begin{aligned} 45 &= 5 \times 9 \\ &= 5 \times 3^2 \end{aligned}\]

On utilise cette décomposition pour retrouver tous les diviseurs possibles.

C) Construire les diviseurs à partir des facteurs premiers

Si un nombre s’écrit sous la forme \(p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}\), alors tout diviseur s’obtient en choisissant pour chaque facteur premier une puissance comprise entre 0 et l’exposant maximal. Par exemple, si l’on considère un nombre égal à \(2^2 \times 3^1\), ses diviseurs ont la forme :

\[ 2^{i} \times 3^{j} \quad\text{avec}\quad i = 0,1,2 \quad\text{et}\quad j = 0,1 \]

En prenant toutes les combinaisons possibles des puissances de 2 et de 3, on liste alors tous les diviseurs du nombre.

D) Ranger les diviseurs dans l’ordre croissant

Une fois tous les diviseurs trouvés, il est important de les organiser dans l’ordre du plus petit au plus grand pour obtenir une liste claire et complète. Par exemple, si l’on obtient les valeurs 1, 9, 3, 6, on les range en :

\(1,\ 3,\ 6,\ 9\).