Corrigé de l'exercice 74, page 206 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un pot ayant la forme d’un cône coupé par un plan parallèle à sa base est un tronc de cône. On peut le voir comme un grand cône auquel on enlève un petit cône situé au-dessus.

La méthode consiste donc souvent à calculer :

\[ V_{\text{tronc}}=V_{\text{grand cône}}-V_{\text{petit cône}} \]

Cette idée est utile lorsque l’on connaît ou que l’on peut retrouver les hauteurs des deux cônes.

B) Le volume d’un cône de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) se calcule avec la formule :

\[ V=\dfrac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h \]

Le rayon \(r\) est la distance entre le centre du disque de base et son bord. La hauteur \(h\) est la distance perpendiculaire entre le sommet du cône et le plan de sa base.

Par exemple, pour un cône de rayon \(2{,}4\ \text{dm}\) et de hauteur \(5\ \text{dm}\), on aurait :

\[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\times \pi \times 2{,}4^2 \times 5 \\ &= \dfrac{1}{3}\times \pi \times 5{,}76 \times 5 \\ &= 9{,}6\pi \end{aligned} \]

C) Lorsqu’on connaît un diamètre, il faut penser à le diviser par \(2\) pour obtenir le rayon.

\[ r=\dfrac{d}{2} \]

Par exemple, si le diamètre d’une base est \(8{,}2\ \text{dm}\), alors :

\[ \begin{aligned} r &= \dfrac{8{,}2}{2} \\ &= 4{,}1\ \text{dm} \end{aligned} \]

Dans une formule de volume avec \(\pi r^2\), il faut toujours utiliser le rayon, et non le diamètre.

D) Dans une figure obtenue par section parallèle à la base d’un cône, on utilise la proportionnalité des longueurs. Les rayons et les hauteurs des cônes semblables sont dans le même rapport.

Si un petit cône est une réduction d’un grand cône de rapport \(k\), alors :

\[ \dfrac{r_{\text{petit}}}{r_{\text{grand}}} = \dfrac{h_{\text{petit}}}{h_{\text{grand}}} = k \]

Cette relation permet de retrouver une hauteur manquante à l’aide des rayons.

E) On peut aussi utiliser directement la formule du volume d’un tronc de cône, lorsque les deux rayons et la hauteur du tronc sont connus.

Si \(R\) est le grand rayon, \(r\) le petit rayon et \(h\) la hauteur du tronc de cône, alors :

\[ V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right) \]

Cette formule donne directement le volume du tronc de cône, sans calculer séparément le grand cône et le petit cône.

F) Pour les unités de volume, il faut connaître la relation entre le décimètre cube et le litre :

\[ 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \]

Ainsi, si un volume est calculé en \(\text{dm}^3\), il a la même valeur numérique en litres.

Par exemple :

\[ \begin{aligned} 12{,}7\ \text{dm}^3 &= 12{,}7\ \text{L} \end{aligned} \]

G) Lorsqu’on demande une valeur approchée à l’unité près, on arrondit le résultat au nombre entier le plus proche.

Par exemple :

\[ \begin{aligned} 18{,}42 &\approx 18 \\ 18{,}73 &\approx 19 \end{aligned} \]

Si le chiffre des dixièmes est \(5\) ou plus, on arrondit à l’entier supérieur. Sinon, on garde l’entier inférieur.