Corrigé de l'exercice 80, page 118 - Mission Indigo 4e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Les égalités et les équations

Une égalité est une relation qui lie deux expressions entre elles, indiquant qu'elles sont égales. Par exemple, 3 + 2 = 5 est une égalité.

Une équation est une égalité dans laquelle on cherche à trouver la valeur d'une ou plusieurs inconnues. Par exemple, dans l'équation x + 4 = 10, on cherche à trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.

Pour résoudre une équation, on applique des règles qui nous permettent d'isoler l'inconnue d'un côté de l'égalité.

B) La multiplication et la distributivité

La multiplication est une opération qui permet d'ajouter plusieurs fois le même nombre. Par exemple, 3 × 4 est égal à 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

La distributivité est une propriété qui permet de multiplier une somme par un facteur, et de distribuer ce facteur à chaque terme de la somme. Par exemple, pour 2 × (3 + 4), on peut écrire :

\[\begin{aligned} 2 \times (3 + 4) &= 2 \times 3 + 2 \times 4 \\ &= 6 + 8 \\ &= 14 \end{aligned}\]

C) Résolution d'une équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue apparaît au premier degré (c'est-à-dire sans exposant supérieur à 1). Par exemple, l'équation 2x + 3 = 11 est du premier degré.

Pour résoudre une telle équation, il faut isoler l'inconnue. On peut effectuer les opérations suivantes :

- Soustraire ou ajouter des nombres des deux côtés de l'équation

- Diviser ou multiplier des deux côtés pour obtenir l'inconnue seule

Voici un exemple de résolution de l'équation 2x + 3 = 11 :

\[\begin{aligned} 2x + 3 &= 11 \\ 2x &= 11 - 3 \\ 2x &= 8 \\ x &= \frac{8}{2} \\ x &= 4 \end{aligned}\]

La solution est donc x = 4.

D) Les notations anciennes de François Viète

François Viète, mathématicien du XVI^e siècle, utilisait des notations différentes de celles que nous employons aujourd'hui. Par exemple, au lieu de l'expression moderne a × 3 + 2 = e, il écrivait A in 3 + 2 aquatur E (où "in" signifie multiplication et "aquatur" signifie égalité).

Dans ces notations, il est important de comprendre que les opérations de multiplication et d'addition sont les mêmes que celles que nous utilisons aujourd'hui, mais elles étaient exprimées de manière différente. Pour résoudre de telles équations, il suffit de comprendre les symboles et de les remplacer par les notations modernes.

E) La vérification d'une égalité

Lorsque nous résolvons une équation, il est important de vérifier que la solution trouvée est correcte. Pour cela, on remplace l'inconnue par sa valeur dans l'égalité et on vérifie que les deux membres sont égaux.

Par exemple, si l'on résout l'équation y + 5 = 12 et que l'on trouve y = 7, il faut vérifier :

\[\begin{aligned} 7 + 5 &= 12 \\ 12 &= 12 \end{aligned}\]

Si l'égalité est vraie, cela signifie que la solution est correcte.