Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage131Exercice2

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Une échelle compare une longueur sur un plan et la longueur réelle. Une échelle \(\dfrac{1}{n}\) signifie que 1 unité sur le plan représente \(n\) unités en réalité.

Par exemple, à l’échelle \(\dfrac{1}{150}\), \(1\) cm sur le plan représente \(150\) cm en réalité.

Pour trouver la distance réelle, on multiplie la mesure du plan par le nombre indiqué par l’échelle.

\[\begin{aligned} \text{distance réelle} &= \text{distance sur le plan} \times 150 \end{aligned}\]

B) Pour utiliser une échelle, il faut faire attention aux unités. On ne peut comparer que des longueurs exprimées dans la même unité.

Quelques conversions utiles :

\[1\ \text{m} = 100\ \text{cm}\]

\[1\ \text{km} = 1000\ \text{m}\]

Par exemple, \(7\) m \(= 700\) cm.

Ainsi, si une longueur réelle est donnée en mètres et la longueur sur le plan en centimètres, il faut d’abord convertir avant de calculer l’échelle.

C) Pour trouver une échelle de réduction, on calcule :

\[\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}\]

Attention : là encore, les deux longueurs doivent être dans la même unité.

Exemple : si \(48\) cm sur un plan représentent \(12\) m en réalité, on convertit d’abord \(12\) m en \(1200\) cm, puis :

\[\begin{aligned} \text{échelle} &= \dfrac{48}{1200} \\ &= \dfrac{1}{25} \end{aligned}\]

On dit alors que le plan est à l’échelle \(\dfrac{1}{25}\).

D) Dans une situation de proportionnalité, si on multiplie une distance par un nombre, on multiplie aussi le temps par ce même nombre.

Par exemple, si un cycliste met \(4\) min \(12\) s pour parcourir \(1\) km, alors pour \(3\) km, on multiplie le temps par \(3\).

\[\begin{aligned} 4\ \text{min}\ 12\ \text{s} &= 252\ \text{s} \\ 252 \times 3 &= 756\ \text{s} \\ 756\ \text{s} &= 12\ \text{min}\ 36\ \text{s} \end{aligned}\]

Il est souvent plus simple de faire les calculs de durée en secondes, puis de reconvertir en minutes et secondes à la fin.

E) Pour convertir une durée en secondes :

\[\text{nombre de secondes} = (\text{nombre de minutes} \times 60) + \text{nombre de secondes}\]

Exemple :

\[\begin{aligned} 6\ \text{min}\ 25\ \text{s} &= 6 \times 60 + 25 \\ &= 360 + 25 \\ &= 385\ \text{s} \end{aligned}\]

Et pour revenir en minutes et secondes, on partage par \(60\).

Par exemple, \(385\) s \(= 6\) min \(25\) s, car \(6 \times 60 = 360\) et il reste \(25\) s.

F) Quand on répond à un problème, il faut penser à vérifier si le résultat est cohérent.

Par exemple :

- sur un plan à petite échelle, la distance réelle doit être plus grande que la distance mesurée sur le plan ;

- si on parcourt une distance plus grande à la même vitesse, le temps doit aussi être plus grand ;

- une échelle de réduction est une fraction plus petite que \(1\).

Cette vérification permet de repérer une erreur de calcul ou d’unité.