Corrigé de l'exercice 28, page 232 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à \(180^\circ\). Cette propriété permet de calculer un angle lorsqu’on connaît les deux autres. Par exemple, si deux angles mesurent \(48^\circ\) et \(62^\circ\), on peut déterminer le troisième angle :

\[\begin{aligned} \text{Troisième angle} &= 180^\circ - 48^\circ - 62^\circ \\ &= 70^\circ \end{aligned}\]

B) Un triangle est isocèle lorsque deux de ses côtés ont la même longueur. Dans ce cas, les angles opposés à ces côtés sont égaux. Autrement dit, les deux angles à la base du triangle isocèle ont la même mesure. Cette propriété est très utile pour déterminer des angles inconnus.

C) Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont la même forme, même s’ils n’ont pas la même taille. Un critère simple de similitude est le critère « angle-angle » : si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables. Le troisième angle est alors automatiquement égal, car la somme des angles vaut \(180^\circ\).

D) Lorsque deux triangles sont semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. Le nombre par lequel on multiplie les longueurs d’un triangle pour obtenir celles de l’autre s’appelle le rapport de réduction (s’il est inférieur à 1) ou le rapport d’agrandissement (s’il est supérieur à 1).

E) Pour calculer un rapport de réduction, on divise la longueur d’un côté du triangle « réduit » par la longueur du côté correspondant du triangle de départ. Par exemple, si un côté mesure \(1{,}8\ \text{cm}\) dans le petit triangle et \(3\ \text{cm}\) dans le grand triangle, le rapport vaut :

\[\begin{aligned} k &= \dfrac{1{,}8}{3} \\ &= 0{,}6 \end{aligned}\]

Ce même rapport s’applique à tous les côtés correspondants des deux triangles.