Corrigé de l'exercice 29, page 232 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Triangle rectangle et hauteur
Un triangle est rectangle lorsqu’un de ses angles mesure \(90^\circ\). Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
Dans un triangle, une hauteur issue d’un sommet est un segment passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Si un point \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\), alors \(AH \perp\) au côté opposé à \(A\).

B) Angles dans un triangle
La somme des mesures des angles d’un triangle est toujours égale à \(180^\circ\). Cela permet de calculer un angle lorsqu’on connaît les deux autres.
Par exemple, dans un triangle dont deux angles mesurent \(42^\circ\) et \(90^\circ\) :

\[\begin{aligned} \text{troisième angle} &= 180^\circ - 42^\circ - 90^\circ \\ &= 48^\circ \end{aligned}\]

C) Angles formés par des droites alignées
Si trois points \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont alignés, alors les droites \((XY)\) et \((YZ)\) sont confondues. Ainsi, un angle formé avec \((XY)\) a la même mesure qu’un angle formé avec \((YZ)\), dès lors que l’autre côté de l’angle est le même.

D) Triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont la même forme, même s’ils n’ont pas la même taille. Pour le montrer, on peut utiliser le critère suivant :
Si deux triangles ont deux angles de même mesure, alors ils sont semblables.
En revanche, avoir seulement un angle commun (par exemple un angle droit) ne suffit pas pour conclure à la similitude.

E) Utilisation des angles dans des triangles rectangles
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, c’est-à-dire que leur somme vaut \(90^\circ\). Si l’un des angles aigus mesure \(37^\circ\), alors l’autre mesure :

\[\begin{aligned} 90^\circ - 37^\circ &= 53^\circ \end{aligned}\]

Ce raisonnement est souvent utilisé pour comparer des angles dans des triangles rectangles issus d’une même figure.