Corrigé de l'exercice 34, page 232 - Transmath 3e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux et que les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles. Cela signifie qu’il existe un même nombre \(k\), appelé coefficient de proportionnalité, tel que chaque côté d’un triangle soit obtenu en multipliant le côté correspondant de l’autre triangle par \(k\).

Par exemple, si deux triangles sont semblables et que l’on a :

\[\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=2\]

alors chaque côté du premier triangle est deux fois plus long que le côté correspondant du second.

B) Des côtés homologues sont des côtés qui se correspondent dans deux triangles semblables. Pour les identifier, on observe les rapports de longueurs égaux : les côtés placés dans la même position dans ces rapports sont homologues.

Si l’on sait que :

\[\frac{MN}{PQ}=\frac{NP}{QR}=\frac{MP}{PR}\]

alors \(MN\) correspond à \(PQ\), \(NP\) correspond à \(QR\) et \(MP\) correspond à \(PR\). Ces correspondances permettent ensuite d’identifier les sommets homologues.

C) Les sommets homologues sont les sommets situés aux extrémités des côtés homologues. Lorsque deux côtés correspondent, leurs extrémités correspondent également entre elles.

Par exemple, si le côté \(MN\) correspond au côté \(PQ\), alors le sommet \(M\) correspond à \(P\) et le sommet \(N\) correspond à \(Q\).

D) Dans deux triangles semblables, les angles de même mesure sont ceux situés aux sommets homologues. Une fois les sommets homologues identifiés, on peut immédiatement affirmer que les angles correspondants ont la même mesure.

Par exemple, si \(M\) correspond à \(P\), alors l’angle au sommet \(M\) a la même mesure que l’angle au sommet \(P\).

E) La cohérence des correspondances est essentielle : toutes les associations (côtés, sommets et angles) doivent être compatibles entre elles. Un même sommet ne peut pas correspondre à deux sommets différents.

Vérifier cette cohérence permet d’éviter les erreurs et de s’assurer que l’on a correctement identifié les triangles semblables et leurs éléments correspondants.