Corrigé de l'exercice Transmath 3eExercice65Page253

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Triangle rectangle et vocabulaire associé

Dans un triangle rectangle, un angle mesure \(90^\circ\). Le côté opposé à cet angle droit s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l’angle droit.

Par rapport à un angle aigu donné, on distingue :

- le côté adjacent à l’angle ;
- le côté opposé à l’angle ;
- l’hypoténuse.

B) Trigonométrie dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on peut utiliser les fonctions trigonométriques pour relier les angles et les longueurs.

Pour un angle aigu \(\alpha\) :

\[ \cos(\alpha)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}},\quad \sin(\alpha)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}},\quad \tan(\alpha)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \]

Par exemple, si \(\cos(25^\circ)=\dfrac{7}{x}\), on peut écrire :

\[\begin{aligned} x &= \frac{7}{\cos(25^\circ)} \\ &\approx \frac{7}{0{,}9063} \\ &\approx 7{,}7 \end{aligned}\]

C) Valeurs approchées des angles usuels

Certaines valeurs trigonométriques sont souvent utilisées :

\[ \cos(30^\circ)\approx 0{,}866,\quad \sin(30^\circ)=0{,}5,\quad \tan(30^\circ)\approx 0{,}577 \]

Ces valeurs permettent d’obtenir des longueurs sous forme approchée lorsqu’aucune valeur exacte n’est demandée.

D) Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si le triangle est rectangle en \(M\) :

\[ MN^2 = MP^2 + PN^2 \]

Par exemple, si \(MN = 13\) et \(MP = 5\), alors :

\[\begin{aligned} PN^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144 \\ PN &= 12 \end{aligned}\]

E) Arrondir un résultat

Lorsque l’on demande une valeur approchée au dixième, on regarde le chiffre des centièmes.

Par exemple, \(8{,}64\) s’arrondit à \(8{,}6\), tandis que \(8{,}65\) s’arrondit à \(8{,}7\).