Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage219Exercice54

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un rectangle, les diagonales ont deux propriétés importantes : elles sont de même longueur et elles se coupent en leur milieu. Cela signifie que si une diagonale mesure \(4\) cm, alors son milieu partage cette diagonale en deux segments de \(2\) cm.

Autrement dit, si les diagonales mesurent \(d\), alors la distance entre leur point d’intersection et chacun des sommets vaut \(\dfrac{d}{2}\).

\[ \frac{4}{2}=2 \]

B) Pour construire une figure à partir de la longueur d’une diagonale, on peut utiliser cette idée : si les diagonales se coupent en leur milieu, alors les quatre sommets sont tous à la même distance du point d’intersection des diagonales. On peut donc souvent tracer un cercle de centre ce point, avec pour rayon la moitié de la diagonale.

Par exemple, si une diagonale mesure \(8\) cm, alors le rayon du cercle utile pour placer les sommets peut être :

\[ \frac{8}{2}=4 \]

Tous les sommets seront alors situés à \(4\) cm du centre.

C) Dans un carré, on retrouve les propriétés du rectangle, mais avec une information supplémentaire : les quatre côtés sont de même longueur. Les diagonales d’un carré sont aussi de même longueur, se coupent en leur milieu, et sont perpendiculaires.

Donc, pour construire un carré à partir de ses diagonales, il faut penser à deux choses : leur longueur est imposée, et elles doivent se croiser en formant un angle droit.

D) Le milieu d’un segment est le point qui partage ce segment en deux parties égales. Si un segment mesure \(10\) cm, son milieu est à \(5\) cm de chaque extrémité.

\[ \frac{10}{2}=5 \]

Cette notion est essentielle ici, car dans un rectangle comme dans un carré, les diagonales se coupent exactement en leur milieu.

E) Quand un exercice dit que plusieurs solutions sont possibles, cela signifie qu’il n’y a pas une seule figure à obtenir. Par exemple, pour un rectangle, on peut changer sa largeur et sa longueur tout en gardant des diagonales de même mesure. En revanche, pour un carré, la longueur des côtés est entièrement déterminée par la diagonale.

Il faut donc bien distinguer :

- rectangle : plusieurs tracés possibles ;

- carré : figure plus contrainte, donc construction unique à l’orientation près.