Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage219Exercice52

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Cela signifie que si un côté mesure \(4{,}2\) cm, alors les trois autres mesurent aussi \(4{,}2\) cm.

Pour reproduire un losange, on utilise donc souvent cette propriété essentielle : tous les côtés sont égaux.

B) Pour construire une figure à la règle et au compas, il faut bien distinguer la longueur d’un côté et la longueur d’une diagonale.

Dans un losange, une diagonale est un segment qui relie deux sommets opposés. Elle ne correspond pas à un côté. Si on connaît une diagonale et la longueur des côtés, on peut placer les sommets en cherchant des points situés à la bonne distance des extrémités de cette diagonale.

Par exemple, si un segment mesure \(5\) cm et que chaque côté du losange mesure \(3\) cm, alors un sommet doit être à \(3\) cm d’une extrémité et à \(3\) cm de l’autre extrémité. On le construit en traçant deux arcs de cercle de rayon \(3\) cm.

C) Le compas permet de reporter une longueur. Quand on dit qu’un point est à \(2{,}8\) cm d’un autre, cela signifie que l’on peut tracer un arc de cercle de rayon \(2{,}8\) cm centré sur ce point.

Si deux sommets doivent être à la même distance de deux points donnés, on trace deux arcs de cercle : leur point d’intersection donne la position cherchée.

Il peut y avoir deux intersections possibles : une au-dessus du segment et une en dessous. Dans un losange, cela permet souvent d’obtenir les deux sommets opposés.

D) Un angle se mesure en degrés, notés \(^{\circ}\). Pour construire un losange quand on connaît un côté et un angle, on commence par tracer le côté, puis on utilise le rapporteur pour construire l’angle demandé au bon sommet.

Par exemple, construire un angle de \(42^{\circ}\) en un point signifie tracer une demi-droite qui forme une ouverture de \(42^{\circ}\) avec le côté déjà dessiné.

Ensuite, comme dans un losange tous les côtés sont égaux, on reporte sur cette demi-droite la longueur du côté avec le compas.

E) Pour terminer un losange à partir de deux côtés consécutifs, on utilise encore l’égalité des côtés. Si on connaît déjà deux sommets voisins, on peut chercher le quatrième sommet comme point situé à la bonne distance des deux sommets déjà placés.

Autrement dit, si un côté du losange mesure \(3{,}1\) cm, alors le dernier sommet doit être à \(3{,}1\) cm de chacun des deux sommets voisins. On le trouve donc par intersection de deux arcs de cercle de rayon \(3{,}1\) cm.

F) Il est important de soigner le tracé : règle pour les segments, compas pour les longueurs égales, rapporteur pour les angles. Une petite erreur de mesure peut empêcher la figure de se fermer correctement.

À la fin, on pense à vérifier que les quatre côtés du quadrilatère obtenu ont bien la même longueur. C’est cette vérification qui permet de confirmer qu’on a bien construit un losange.