Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage219Exercice57

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un losange, les quatre côtés ont la même longueur. C’est la propriété essentielle de cette figure. On peut donc dire, si un quadrilatère est un losange \(PQRS\), que \(PQ = QR = RS = SP\).

Pour une construction, cela signifie souvent qu’on utilise le compas pour reporter une même longueur plusieurs fois.

B) Le centre d’un losange est le point d’intersection de ses diagonales. Les diagonales d’un losange ont deux propriétés importantes :

- elles se coupent en leur milieu ;
- elles sont perpendiculaires.

Dire que \(O\) est le centre du losange signifie donc que \(O\) est le milieu de chaque diagonale. Par exemple, si \(O\) est le milieu du segment \([PR]\), alors \(OP = OR\). De même, si \(O\) est le milieu du segment \([QS]\), alors \(OQ = OS\).

C) Quand on connaît le centre d’un losange et un sommet, on peut utiliser l’idée de symétrie centrale. En effet, dans un losange, deux sommets opposés sont symétriques par rapport au centre.

Par exemple, si \(O\) est le milieu de \([PR]\), alors les points \(P\), \(O\) et \(R\) sont alignés et \(OP = OR\).

Pour construire le point opposé à un sommet connu, on place donc un point de l’autre côté de \(O\), sur la même droite, à la même distance.

D) Une longueur comme \(ON = 2\ \text{cm}\) signifie que le point \(N\) est situé à \(2\ \text{cm}\) du point \(O\). De même, \(OA = 3\ \text{cm}\) signifie que le point \(A\) est à \(3\ \text{cm}\) de \(O\).

Pour placer un point à une distance donnée d’un autre point, on peut tracer un cercle de centre ce point et de rayon la distance demandée. Par exemple, l’ensemble des points situés à \(4\ \text{cm}\) de \(M\) est le cercle de centre \(M\) et de rayon \(4\ \text{cm}\).

E) Lors d’une construction géométrique, il faut aussi penser à l’ordre des sommets. Dans un losange \(ANGE\), les lettres sont données dans l’ordre du contour : \(A\), puis \(N\), puis \(G\), puis \(E\).

Cela permet de repérer quels sommets sont consécutifs et quels sommets sont opposés. Ici, \(A\) et \(G\) sont opposés, et \(N\) et \(E\) sont opposés. Les diagonales sont donc \([AG]\) et \([NE]\).

F) Si \(O\) est le centre du losange, alors \(O\) est le milieu des diagonales \([AG]\) et \([NE]\). On en déduit :

\[ OA = OG \qquad \text{et} \qquad ON = OE \]

Autrement dit, si on connaît \(A\) et \(N\), on peut construire \(G\) et \(E\) en prenant les points symétriques de \(A\) et \(N\) par rapport à \(O\).

G) Pour vérifier qu’une construction est correcte, on peut contrôler deux choses :

- \(O\) est bien le milieu de chaque diagonale ;
- les quatre côtés du quadrilatère obtenu sont de même longueur.

On peut aussi vérifier que les diagonales se coupent bien à angle droit. Cette propriété est très utile pour reconnaître ou confirmer qu’on a bien construit un losange.