Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage219Exercice56

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les quatre angles sont droits. Cela signifie par exemple que si on connaît un côté, alors le côté opposé a la même mesure.

On sait aussi que les diagonales d’un rectangle ont une propriété importante : elles sont de même longueur et elles se coupent en leur milieu.

B) Le centre du rectangle est le point d’intersection des deux diagonales. Comme les diagonales se coupent en leur milieu, le centre est donc à la même distance des quatre sommets.

Ainsi, si un point \(O\) est le centre d’un rectangle \(EFGH\), alors on a :

\[ OE = OF = OG = OH \]

Autrement dit, si on connaît la distance du centre à un sommet, on connaît aussi la distance du centre aux trois autres sommets.

C) Pour construire un point situé à une distance donnée d’un autre point, on utilise souvent un cercle. En effet, tous les points d’un cercle sont à la même distance de son centre.

Par exemple, si on trace un cercle de centre \(M\) et de rayon \(3\) cm, alors tout point \(N\) placé sur ce cercle vérifie :

\[ MN = 3\ \text{cm} \]

Cette idée est très utile quand on connaît la distance entre le centre d’une figure et certains sommets.

D) Pour construire un segment de longueur donnée à partir d’un point connu, on utilise la règle graduée. Par exemple, si l’on veut placer un point \(Q\) tel que \(PQ = 6\) cm, on mesure \(6\) cm à partir de \(P\) dans la direction choisie.

Il faut ensuite être attentif au fait qu’en géométrie, plusieurs points peuvent parfois convenir si seule une distance est imposée. C’est souvent une autre propriété de la figure qui permet de choisir le bon emplacement.

E) Quand on connaît le milieu d’un segment, cela signifie que ce point partage le segment en deux parties égales. Si \(J\) est le milieu du segment \([RS]\), alors :

\[ RJ = JS \]

Dans un rectangle, le centre est donc le milieu de chaque diagonale. Si un sommet et le centre sont connus, on peut retrouver le sommet opposé en utilisant cette propriété de milieu.

F) En construction géométrique, il est important de suivre un raisonnement simple : d’abord repérer les points que l’on peut placer directement, puis utiliser les propriétés de la figure pour trouver les autres.

Par exemple, si l’on connaît un sommet, la longueur d’un côté et la position du centre, on peut utiliser :

• la longueur du côté pour placer un deuxième sommet ;

• la propriété des diagonales pour placer les sommets opposés ;

• la définition du rectangle pour vérifier que la figure obtenue convient.

G) Enfin, après la construction, il faut toujours vérifier que la figure respecte bien les données de départ : la bonne longueur pour le côté demandé, le bon centre, et la forme d’un rectangle.

Une figure n’est correcte que si toutes les conditions sont respectées en même temps.