Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice28

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Notion de multiple et de diviseur

Un entier est un multiple d’un autre entier lorsqu’on peut l’écrire comme un produit. Par exemple, on peut écrire :

\[11128 = 104 \times 107\]

On dit alors que 11128 est un multiple de 104 et aussi un multiple de 107. Réciproquement, on dit que 104 est un diviseur de 11128 et que 107 est un diviseur de 11128.

Retenir : « être diviseur » et « être multiple » sont deux façons de décrire la même relation, mais vues dans des sens opposés.

B) Nombres premiers et nombres composés

Un nombre premier est un entier naturel, différent de l’unité, qui admet exactement deux diviseurs positifs : l’unité et lui-même. Par exemple, le nombre \(113\) est premier : il ne peut pas s’écrire comme produit de deux entiers strictement plus grands que l’unité.

Un nombre composé est un entier qui possède au moins un diviseur autre que l’unité et lui-même. Par exemple, on peut écrire :

\[11232 = 104 \times 108\]

Le nombre \(11232\) n’est donc pas premier : il est composé, car il possède les diviseurs \(104\) et \(108\) (en plus de l’unité et de lui-même).

Dans la recherche de nombres premiers, on s’intéresse à la question : « ce nombre peut-il s’écrire comme un produit de deux entiers non triviaux ? ».

C) Repérer les multiples dans une liste de nombres

Pour vérifier si un entier est multiple d’un autre, on peut utiliser la division euclidienne : si un nombre \(n\) est multiple de \(a\), alors le quotient \(\dfrac{n}{a}\) est un entier.

Par exemple, pour voir si \(14040\) est un multiple de \(116\), on calcule :

\[\dfrac{14040}{116} = 121\]

Le résultat est un entier, donc \(14040\) est bien un multiple de \(116\).

Pour « barrer » les multiples d’un nombre dans un tableau, on additionne à chaque fois ce nombre au précédent multiple. Par exemple, si l’on cherche les multiples de \(109\) entre \(109\) et \(2000\), on calcule :

\[109,\ 109 + 109,\ 109 + 2\times 109\]\(,\ 109 + 3\times 109,\dots\)

et ainsi de suite, en s’arrêtant dès que l’on dépasse la borne supérieure de l’intervalle étudié.

D) Idée générale de la méthode du « crible »

La méthode utilisée dans l’exercice est une version du « crible de l’Antiquité » : on se sert des multiples pour éliminer, étape par étape, les nombres qui ne sont pas premiers.

Le principe est le suivant :

• On écrit tous les entiers dans un certain intervalle (par exemple tous les entiers de \(101\) à \(160\)).
• On choisit le premier nombre de la liste qui n’est pas encore barré : on le considère comme premier.
• On barre tous les multiples de ce nombre (dans l’intervalle choisi), sauf lui-même.
• On recommence avec le prochain nombre non barré, et ainsi de suite.

À la fin du processus, les entiers qui ne sont jamais barrés sont précisément les nombres premiers dans l’intervalle considéré.

E) Lecture d’un tableau de nombres

Dans ce type d’exercice, les entiers sont rangés dans un tableau, souvent par lignes de même longueur. Il faut être à l’aise avec la lecture du tableau pour retrouver rapidement un nombre donné, et pour repérer les multiples d’un nombre en parcourant la grille.

On peut s’entraîner sur un intervalle différent, par exemple tous les entiers de \(201\) à \(260\), en les écrivant par rangées de cinq ou de dix, puis en repérant les multiples d’un nombre donné dans cette grille.