Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice37

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Puissances d’un nombre entier

La notation \(a^n\) (se lit « a puissance n ») signifie que l’on multiplie le nombre \(a\) par lui-même \(n\) fois.

Par exemple :

\[4^3 = 4 \times 4 \times 4\] \[= 64\]

Ici, on a multiplié trois fois le nombre 4, ce qui donne 64.

De même :

\[6^2 = 6 \times 6\] \[= 36\]

On dit que 36 est le carré de 6.

B) Produit de plusieurs nombres et ordre des calculs

Quand on multiplie plusieurs nombres, on peut changer l’ordre des facteurs sans changer le résultat. C’est la commutativité de la multiplication.

Exemple :

\[3 \times 7 \times 9 = 7 \times 3 \times 9\] \[= 9 \times 7 \times 3\]

On peut aussi regrouper les facteurs comme on veut. C’est l’associativité de la multiplication.

Par exemple :

\[3 \times 7 \times 9 = (3 \times 7) \times 9\] \[= 21 \times 9\] \[= 189\]

Ou encore :

\[3 \times 7 \times 9 = 3 \times (7 \times 9)\] \[= 3 \times 63\] \[= 189\]

Dans les deux cas, on obtient le même résultat.

C) Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Par exemple, 7 est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 7.

En revanche, 15 n’est pas un nombre premier car :

\[15 = 3 \times 5\]

Il a donc plusieurs diviseurs : 1, 3, 5 et 15.

D) Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit où tous les facteurs sont des nombres premiers.

On peut procéder par divisions successives :

• On choisit un petit nombre premier qui divise le nombre (2, 3, 5, 7, 11, …).
• On divise, puis on recommence avec le résultat obtenu.
• On s’arrête quand on obtient 1.

Exemple avec le nombre 198 :

On remarque que 198 est pair, donc divisible par 2 :

\[198 = 2 \times 99\]

Le nombre 99 est divisible par 3 :

\[99 = 3 \times 33\]

Le nombre 33 est encore divisible par 3 :

\[33 = 3 \times 11\]

On peut alors écrire :

\[198 = 2 \times 99\] \[= 2 \times 3 \times 33\] \[= 2 \times 3 \times 3 \times 11\]

Comme tous les facteurs \(2\), \(3\) et \(11\) sont des nombres premiers, on a obtenu la décomposition en produit de facteurs premiers.

On peut aussi regrouper les facteurs identiques avec des puissances :

\[198 = 2 \times 3^2 \times 11\]

Cette écriture est plus compacte et sera souvent utilisée dans les exercices.