Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice41

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Nombres premiers et nombres composés

Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers.

Un nombre composé est un nombre entier qui a d’autres diviseurs que 1 et lui-même. Par exemple, 18 n’est pas premier car :

\[18 = 2\times 9\]

et 2 et 9 sont des diviseurs de 18. On peut aussi écrire :

\[18 = 3\times 6\]

Donc 18 est un nombre composé.

B) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit où tous les facteurs sont des nombres premiers.

On peut procéder par divisions successives. Par exemple, pour 84 :

On commence par diviser par 2 (car 84 est pair) :

\[84 = 2\times 42\]

On continue avec 42, qui est encore pair :

\[42 = 2\times 21\]

On décompose ensuite 21 :

\[21 = 3\times 7\]

Les nombres 3 et 7 sont premiers. On remplace tout dans la décomposition de 84 :

\[84 = 2\times 42\]

\[= 2\times 2\times 21\]

\[= 2\times 2\times 3\times 7\]

On a alors écrit 84 comme produit de nombres premiers.

C) Utiliser les puissances pour regrouper les facteurs

Quand un même nombre premier apparaît plusieurs fois dans la décomposition, on peut utiliser la notation avec des puissances.

Par exemple, pour 72, on peut obtenir :

\[72 = 2\times 36\]

\[= 2\times 2\times 18\]

\[= 2\times 2\times 2\times 9\]

\[= 2\times 2\times 2\times 3\times 3\]

On voit trois fois le facteur 2 et deux fois le facteur 3, donc :

\[72 = 2^{3}\times 3^{2}\]

Cette écriture est plus courte et met en valeur le nombre de fois où chaque facteur premier apparaît.

D) Tester rapidement si un nombre est divisible par 2, 5 ou 10

Ces tests sont très utiles pour commencer une décomposition :

• Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

Par exemple, 690 se termine par 0, donc :

\[690 = 69\times 10\]

et 10 se décompose en :

\[10 = 2\times 5\]

Ces règles permettent de repérer facilement les premiers facteurs à utiliser dans la décomposition.

E) L’ordre des facteurs n’a pas d’importance

Dans un produit, l’ordre des facteurs ne change pas le résultat. Par exemple :

\[54 = 2\times 3\times 3\times 3\]

\[= 3\times 2\times 3\times 3\]

\[= 3\times 3\times 2\times 3\]

Ce sont toutes des écritures correctes. On préfère cependant ranger les facteurs dans l’ordre croissant et regrouper avec des puissances : ici, on écrira plutôt :

\[54 = 2\times 3^{3}\]

pour que la décomposition soit plus lisible.