Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice29

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

Par exemple, \(13\) est premier, car ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(13\). En revanche, \(15\) n’est pas premier, car il est divisible par \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\).

B) Pour savoir si un nombre est premier, on peut chercher s’il est divisible par d’autres nombres que \(1\) et lui-même.

Par exemple, pour tester \(37\), on vérifie qu’il n’est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\). On peut donc conclure qu’il est premier.

En revanche, \(39\) ne peut pas être premier, car la somme de ses chiffres vaut \(3+9=12\), et \(12\) est un multiple de \(3\). Donc \(39\) est divisible par \(3\).

C) Le crible d’Ératosthène permet de repérer les nombres premiers en éliminant progressivement les nombres qui ne le sont pas.

On conserve \(2\), puis on barre tous ses multiples plus grands que lui. On conserve ensuite \(3\), puis on barre ses multiples, et ainsi de suite. Les nombres qui ne sont pas barrés sont les nombres premiers.

Cette méthode est utile lorsqu’on cherche tous les nombres premiers inférieurs à une certaine valeur.

D) Dans un nombre à deux chiffres, le chiffre des dizaines indique le nombre de dizaines, et le chiffre des unités indique le nombre d’unités.

Par exemple, dans \(47\), le chiffre des dizaines est \(4\) et le chiffre des unités est \(7\).

Si on échange ces deux chiffres, on obtient \(74\).

E) Échanger le chiffre des dizaines et celui des unités signifie écrire le nombre « à l’envers » lorsqu’il a deux chiffres.

Par exemple :

\[\begin{aligned} 28 &\rightarrow 82 \\ 61 &\rightarrow 16 \end{aligned}\]

Dans ce type de question, il faut donc vérifier deux choses : que le nombre de départ est premier, et que le nombre obtenu après échange des chiffres est encore premier.

F) Il faut être attentif au fait que l’on cherche des nombres premiers plus petits que \(100\). Cela signifie que l’on ne retient que les nombres strictement inférieurs à \(100\), donc tous les nombres à un ou deux chiffres, mais pas \(100\) lui-même.

De plus, comme on parle d’échanger le chiffre des dizaines et celui des unités, on s’intéresse surtout aux nombres à deux chiffres.

G) Pour répondre correctement, une bonne méthode consiste à procéder avec ordre :

1. Repérer les nombres premiers inférieurs à \(100\).

2. Prendre un nombre premier à deux chiffres.

3. Échanger ses deux chiffres.

4. Vérifier si le nouveau nombre est encore premier.

Si c’est le cas, le nombre convient.