Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice40

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont des nombres premiers. En revanche, 9 n’est pas premier car il se divise par 3.

B) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers consiste à écrire ce nombre comme un produit de nombres premiers. On utilise la division successive par les plus petits nombres premiers possibles : 2, puis 3, puis 5, etc.

C) Pour reconnaître rapidement si un nombre est divisible par un petit nombre premier :

• Il est divisible par 2 s’il est pair (c’est-à-dire si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• Il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Il est divisible par 7, 11 ou 13 : on vérifie en effectuant la division (il faut que le quotient soit entier).

D) Exemple de décomposition : Prenons le nombre 84 (différent de ceux de l’exercice). Il est pair, donc on commence par 2.

\[84 \div 2 = 42\]

42 est encore pair :

\[42 \div 2 = 21\]

21 n’est pas pair, mais la somme de ses chiffres vaut 2 + 1 = 3, donc il est divisible par 3 :

\[21 \div 3 = 7\]

7 est un nombre premier. On peut donc écrire :

\[84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\]

\[= 2^2 \times 3 \times 7\]

Résultat final : \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)

E) On peut vérifier sa décomposition en effectuant le produit inverse :

\[2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7\]

\[= 12 \times 7\]

\[= 84\]

La décomposition est donc correcte.